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Gleichungen einer VariablenSimultane Gleichungen

3.4.3 Fortgeschrittenes Thema: Algebraische Zahlen

Die Darstellung algebraischer Zahlen

Wenn Sie ein Root-Objekt eingeben, wird das Polynom, das in ihm erscheint, automatisch in eine Minimalform reduziert.

In[1]:= Root[24 - 2 # + 4 #^5 &, 1]

Out[1]=

So wird die reine Funktion extrahiert, die das Polynom darstellt, und auf x angewendet.

In[2]:= First[%][x]

Out[2]=

Mathematica stellt eine algebraische Zahl als Root-Objekt dar. Algebraische Zahlen haben folgende Eigenschaft: Werden algebraische Operationen auf sie angewendet, so erhält man als Ergebnis immer eine einzelne algebraische Zahl (ein Root-Objekt).

Hier ist die Quadratwurzel einer algebraischen Zahl.

In[3]:= Sqrt[Root[2 - # + #^5 &, 1]]

Out[3]=

RootReduce reduziert dies in ein einzelnes Root-Objekt.

In[4]:= RootReduce[%]

Out[4]=

Hier ist ein komplizierterer Ausdruck mit einer algebraischen Zahl.

In[5]:= Sqrt[2] + Root[2 - # + #^5 &, 1]^2

Out[5]=

Dieser läßt sich wiederum in ein einzelnes Root-Objekt verwandeln, wenn auch ein recht kompliziertes.

In[6]:= RootReduce[%]

Out[6]=

Operationen mit algebraischen Zahlen

In diesem einfachen Fall wird das Root-Objekt automatisch mit Radikalen ausgedrückt.

In[7]:= Root[#^2 - # - 1 &, 1]

Out[7]=

Root-Objekte, die kubische Polynome enthalten, werden nicht automatisch mit Radikalen ausgedrückt.

In[8]:= Root[#^3 - 2 &, 1]

Out[8]=

ToRadicals versucht, alle Root-Objekte mit Radikalen auszudrücken.

In[9]:= ToRadicals[%]

Out[9]=

Wenn Solve und ToRadicals die Lösung einer Polynom-Gleichung nicht mit Radikalen ausdrücken können, dann kann sehr wohl angenommen werden, daß dies grundsätzlich nicht möglich ist. Sie sollten jedoch bedenken, daß in einigen speziellen Fällen eine Reduktion in Radikale zwar grundsätzlich möglich ist, Mathematica sie jedoch nicht finden kann. Das einfachste Beispiel ist die Gleichung . Hier ist die Lösung mit Radikalen aber sehr kompliziert. Die Gleichung ist ein anderes Beispiel, für die eine Lösung ist.

Dies liefert ein Root-Objekt mit einem Polynom sechsten Grades.

In[10]:= RootReduce[2^(1/3) + Sqrt[3]]

Out[10]=

Obwohl eine einfache Form mit Radikalen existiert, findet ToRadicals sie nicht.

In[11]:= ToRadicals[%]

Out[11]=

Die meisten Polynome mit einem Grad größer als vier haben keine Wurzeln, die sich mit Radikalen ausdrücken lassen. Für Polynome fünften Grades, so stellt sich heraus, lassen sich die Wurzeln immer mit elliptischen oder hypergeometrischen Funktionen ausdrücken. Die Ergebnisse sind in der Regel viel zu kompliziert für den Einsatz in der Praxis.

Summen von Wurzeln

Dies berechnet die Summe der Reziprokwerte der Wurzeln von .

In[12]:= RootSum[(1 + 2 # + #^5)&, (1/#)&]

Out[12]=

Jetzt läßt sich kein explizites Ergebnis mit Radikalen angeben.

In[13]:= RootSum[(1 + 2 # + #^5)&, (# Log[1 + #])&]

Out[13]=

Dies entwickelt RootSum in eine explizite Summe mit Root-Objekten.

In[14]:= Normal[%]

Out[14]=

Gleichungen einer VariablenSimultane Gleichungen