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Simultane GleichungenVollständige Lösungen

3.4.5 Gleichungen, die Funktionen enthalten

In erster Linie ist Solve zum Lösen algebraischer Gleichungen gedacht. Jedoch wird Solve in der Options-Voreinstellung InverseFunctions -> True zumindest versuchen, einige Gleichungen zu lösen, die andere Funktionen enthalten.

Hier ist eine einfache transzendente Gleichung für x.

In[1]:= Solve[ArcSin[x] == a, x]

Out[1]=

Für diese Gleichung existiert keine Lösung, die sich mit Standard-Funktionen ausdrücken läßt.

In[2]:= Solve[Cos[x] == x, x]

Out[2]=

Mathematica kann trotzdem eine numerische Lösung finden, sogar in diesem Fall.

In[3]:= FindRoot[Cos[x] == x, {x, 0}]

Out[3]=

In der Praxis kann ein Großteil der Gleichungen, die transzendente Funktionen enthalten, nicht in symbolischer Form exakt gelöst werden. Selbst in den Fällen, in denen einige Lösungen gefunden werden können, ist es oft unmöglich, alle Lösungen zu erhalten.

Mathematica gibt eine Warnung aus, die anzeigt, daß in diesem Fall Lösungen verlorengegangen sein können.

In[4]:= Solve[Sin[x] == a, x]

Out[4]=

Eine Gleichung wie hat im Prinzip eine unendliche Anzahl von Lösungen für , die sich um Vielfache von unterscheiden. Jedoch liefert Solve auch mit der Optionseinstellung InverseFunctions -> True nur eine der möglichen Lösungen.

Obwohl alle Lösungen dieser bestimmten Gleichung einfach zu parametrisieren wären, ergeben die meisten solcher Gleichungen wesentlich kompliziertere Lösungsmengen. Bei simultanen trigonometrischen Gleichungen zum Beispiel ergibt sich häufig am Ende die Notwendigkeit, Lösungen für beliebige Diophantische Gleichungen zu bestimmen, die im allgemeinen durch kein endliches Verfahren gefunden werden können.

Weil Mathematica nur einige der Lösungen jeder Gleichung erzeugt, kann es geschehen, daß beim Versuch, mehrere simultane Gleichungen zu lösen, keine Lösungen gefunden werden, obwohl Lösungen tatsächlich existieren.

Bei einer unbekannten Funktion f liefert Mathematica eine Warnung und dann eine formale Lösung mit der inversen Funktion von f.

In[5]:= Solve[f[x] == a, x]

Out[5]=

Dies zeigt die Struktur der inversen Funktion.

In[6]:= InputForm[%]

Out[6]//InputForm= {{x -> InverseFunction[f, 1, 1][a]}}

Wenn Sie Mathematica auffordern, eine Gleichung zu lösen, die eine unbekannte Funktion enthält, wird es versuchen, mit inversen Funktionen eine formale Lösung für die Gleichung zu konstruieren. Dabei nimmt Mathematica im Grunde an, daß die Funktion tatsächlich eine eindeutige Inverse hat. Wenn es wie im Fall einer Funktion wie Sin mehrere mögliche Inverse gibt, wird Mathematica unvermeidlich Lösungen verlieren.

Inverse Funktionen

Hier ist die inverse Funktion von f, die mit dem Argument a evaluiert wurde.

In[7]:= InverseFunction[f][a]

Out[7]=

Die Anwendung von f auf den vorherigen Ausdruck ergibt zuerst eine Warnung und dann das Ergebnis a.

In[8]:= f[%]

Out[8]=

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