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Gleichungen, die Funktionen enthaltenFortgeschrittenes Thema: Existenz von Lösungen

3.4.6 Vollständige Lösungen

Bei einer Gleichung wie 2 x == 0 ist es vollkommen klar, daß die einzige mögliche Lösung x -> 0 ist. Wenn Sie jedoch eine Gleichung wie a x == 0 haben, ist der Sachverhalt nicht so klar. Wenn a ungleich Null ist, dann ist x -> 0 wieder die einzige Lösung. Wenn a jedoch tatsächlich Null ist, dann ist jeder beliebige Wert von x eine Lösung.

Solve setzt implizit voraus, daß der Parameter a nicht den speziellen Wert 0 hat.

In[1]:= Solve[ a x == 0 , x ]

Out[1]=

Roots macht dieselbe Voraussetzung.

In[2]:= Roots[ a x == 0 , x ]

Out[2]=

Reduce liefert dagegen alle Möglichkeiten, ohne irgendwelche Voraussetzungen an den Wert von a.

In[3]:= Reduce[ a x == 0 , x ]

Out[3]=

Die von Reduce gelieferten Ergebnisse sind logische Aussagen, die alle möglichen Lösungen einer Gleichung repräsentieren und spezielle Werte der Parameter erlauben. Der Operator || steht für OR. Deshalb bedeutet a == 0 || x == 0: Entweder ist a gleich 0, und es gibt keine Einschränkung für x, oder a ist gleich 0, und es gibt keine Einschränkung für a.

Logische Formen für Gleichungen

Dies ist die Lösung einer beliebigen linearen Gleichung durch Roots und Solve.

In[4]:= Roots[a x + b == 0, x]

Out[4]=

Reduce ergibt die vollständige Version, die die Möglichkeit a==b==0 mit einbezieht. Beachten Sie beim Lesen der Ausgabe, daß && Vorrang vor || hat.

In[5]:= Reduce[a x + b == 0, x]

Out[5]=

Hier ist die vollständige Lösung für eine allgemeine quadratische Gleichung. Es gibt drei Alternativen: Wenn a ungleich Null ist, gibt es zwei Lösungen für x, die durch die normale quadratische Lösungsformel gegeben werden. Wenn a jedoch Null ist, wird die Gleichung linear. Wenn schließlich a, b und c alle gleich Null sind, gibt es keine Einschränkungen für x.

In[6]:= Reduce[a x^2 + b x + c == 0, x]

Out[6]=

Der wichtigste Unterschied zwischen Reduce und Solve besteht darin, daß Reduce alle möglichen Lösungen für einen Satz Gleichungen angibt, während Solve nur die generischen angibt. Lösungen werden als „generisch" betrachtet, wenn sie nur Bedingungen für die Variablen enthalten, nach denen die Gleichung explizit gelöst wird, und nicht für andere Parameter in den Gleichungen. Reduce und Solve unterscheiden sich auch darin, daß Reduce immer Kombinationen von Gleichungen zurückgibt, während Solve Ergebnisse in Form von Transformationsregeln liefert.

Lösen von Gleichungen

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