This is documentation for Mathematica 4, which was
based on an earlier version of the Wolfram Language.
View current documentation (Version 11.2)

 Documentation /  Mathematica /  Das Mathematica Buch /  Höhere Mathematik in Mathematica /  Manipulation von Gleichungen /

Vollständige LösungenEliminierung von Variablen

3.4.7 Fortgeschrittenes Thema: Existenz von Lösungen

Mit Reduce können Sie herausfinden, unter genau welchen Bedingungen ein bestimmter Satz von Gleichungen Lösungen hat. Solve teilt mit, ob irgendeine generische Lösung existiert.

Es gibt keinen Wert für x, der diese simultanen Gleichungen löst. Reduce vereinfacht deshalb die logische Aussage x==1 && x==2 zum expliziten Wert False.

In[1]:= Reduce[ x == 1 && x == 2 , x ]

Out[1]=

Es gibt eine Lösung für diese Gleichungen, aber nur, wenn a den Wert 1 hat.

In[2]:= Reduce[ x == 1 && x == a , x ]

Out[2]=

Die Lösung ist nicht generisch und wird durch Solve zurückgewiesen.

In[3]:= Solve[ x == 1 && x == a , x ]

Out[3]=

Wenn aber für a die Bedingung gilt, daß es Wert 1 haben soll, dann liefert Solve wieder eine Lösung.

In[4]:= Solve[ x == 1 && x == a && a == 1, x ]

Out[4]=

Diese Gleichung gilt für beliebige Werte von x.

In[5]:= Reduce[ x == x , x ]

Out[5]=

Solve gibt dieses Ergebnis zurück, wenn Sie eine Gleichung angeben, die immer wahr ist.

In[6]:= Solve[ x == x , x ]

Out[6]=

Wenn Sie mit linearen Gleichungssystemen arbeiten, können Sie mit Solve die generischen Lösungen bestimmen und mit Reduce herausfinden, für welche Werte der Parameter Lösungen existieren.

Hier ist eine Matrix, deren -tes Element ist.

In[7]:= m = Table[i + j, {i, 3}, {j, 3}]

Out[7]=

Die Determinante der Matrix ist Null.

In[8]:= Det[ m ]

Out[8]=

Dies erzeugt einen Satz von drei simultanen Gleichungen.

In[9]:= eqn = m . {x, y, z} == {a, b, c}

Out[9]=

Solve gibt an, daß keine generischen Lösungen existieren.

In[10]:= Solve[eqn, {x, y, z}]

Out[10]=

Reduce zeigt aber, daß es eine Lösung geben würde, wenn die Parameter die spezielle Bedingung a == 2b - c erfüllen würden.

In[11]:= Reduce[eqn, {x, y, z}]

Out[11]=

Bei nichtlinearen Gleichungen können die Bedingungen für die Existenz von Lösungen sehr kompliziert sein.

Hier ist ein sehr einfaches Paar nichtlinearer Gleichungen.

In[12]:= eqn = {x y == a, x^2 y^2 == b}

Out[12]=

Solve zeigt, daß die Gleichungen keine generischen Lösungen haben.

In[13]:= Solve[eqn, {x, y}]

Out[13]=

Reduce liefert die vollständigen Bedingungen, unter denen eine Lösung existiert.

In[14]:= Reduce[eqn, {x, y}]

Out[14]=

Vollständige LösungenEliminierung von Variablen