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3.5.11 Integraltransformationen und verwandte Operationen
Laplace-Transformationen
Eindimensionale Laplace-Transformationen
Die Laplace-Transformation einer Funktion  ist definiert durch  . Die inverse Laplace-Transformation von  ist für ein geeignetes  gegeben durch  .
Hier ist eine einfache Laplace-Transformation.
In[1]:= LaplaceTransform[t^4 Sin[t], t, s]
Out[1]= 
Hier ist die inverse Transformation.
In[2]:= InverseLaplaceTransform[%, s, t]
Out[2]= 
Sogar einfach aussehende Transformationen führen zu speziellen Funktionen.
In[3]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^2), t, s]
Out[3]= 
Hier enthält das Ergebnis eine Meijer G Funktion.
In[4]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^3), t, s]
Out[4]= 
Die Laplace-Transformation einer Bessel-Funktion enthält eine hypergeometrische Funktion.
In[5]:= LaplaceTransform[BesselJ[n, t], t, s]
Out[5]= 
Die Laplace-Transformation hat die Eigenschaft, daß sie Integration und Differentiation in algebraische Operationen überführt. Sie wird deshalb weithin bei der Untersuchung von Systemen eingesetzt, die von Differentialgleichungen bestimmt werden.
Integration wird nach einer Laplace-Transformation zur Multiplikation mit  .
In[6]:= LaplaceTransform[Integrate[f[u], {u, 0, t}], t, s]
Out[6]= 
Mehrdimensionale Laplace-Transformation
Fourier-Transformation
Eindimensionale Fourier-Transformationen
Hier ist eine Fourier-Transformation.
In[1]:= FourierTransform[1/(1 + t^4), t,  ]
Out[1]= 
So wird die inverse Transformation ermittelt.
In[2]:= InverseFourierTransform[%, , t]
Out[2]= 
In Mathematica ist die Fourier-Transformation einer Funktion  in der Voreinstellung durch  definiert. Die inverse Fourier-Transformation von  ist ähnlich als  definiert.
In verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen werden häufig unterschiedliche Vereinbarungen für die Definition der Fourier-Transformation verwendet. Mit der Option FourierParameters in Mathematica läßt sich jede dieser Vereinbarungen wählen.
Typische Einstellungen von FourierParameters für diverse Vereinbarungen
Hier ist eine Fourier-Transformation mit der Voreinstellung der Parameter.
In[3]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, ]
Out[3]= 
Hier ist dieselbe Fourier-Transformation mit der für die Signalverarbeitung typischen Parameterwahl.
In[4]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, ,
FourierParameters->{0, -2 Pi}]
Out[4]= 
Fouriersche Sinus- und Kosinustransformationen
In einigen Anwendungen von Fourier-Transformationen erweist es sich als vorteilhaft, die Einführung komplexer Exponentialausdrücke zu vermeiden. Bei den Fourierschen Sinus- und Kosinustransformationen wird entsprechend mit  beziehungsweise  anstelle von  und mit den Grenzen 0 und  statt mit  und  integriert.
Hier sind die Fourierschen Sinus- und Kosinustransformationen von  .
In[5]:= {FourierSinTransform[Exp[-t], t, ],
FourierCosTransform[Exp[-t], t, ]}
Out[5]= 
Mehrdimensionale Fourier-Transformationen
So wird eine zweidimensionale Fourier-Transformation evaluiert.
In[6]:= FourierTransform[(u v)^2 Exp[-u^2-v^2], {u, v}, {a, b}]
Out[6]= 
So wird die Transformation invertiert.
In[7]:= InverseFourierTransform[%, {a, b}, {u, v}]
Out[7]= 
Z-Transformationen
Z-Transformationen
Die Z-Transformation einer Funktion  ist definiert durch  . Die inverse Z-Transformation von  ist definiert durch das Umlaufintegral  . Z-Transformationen sind im Grunde diskrete Analogons der Laplace-Transformationen. Sie werden weithin zum Lösen von Differenzengleichungen eingesetzt, insbesondere in der digitalen Signalverarbeitung und Kontrolltheorie. Man kann sie sich so vorstellen, daß sie solche erzeugende Funktionen produzieren, wie sie allgemein in der Kombinatorik und Zahlentheorie verwendet werden.
Dies berechnet die Z-Transformation von  .
In[1]:= ZTransform[2^-n, n, z]
Out[1]= 
Hier ist die inverse Z-Transformation.
In[2]:= InverseZTransform[%, z, n]
Out[2]= 
Die erzeugende Funktion für  ist eine exponentielle Funktion.
In[3]:= ZTransform[1/n!, n, z]
Out[3]= 
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