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DifferentialgleichungenVerallgemeinerte Funktionen und verwandte Objekte

3.5.11 Integraltransformationen und verwandte Operationen

Laplace-Transformationen

Eindimensionale Laplace-Transformationen

Die Laplace-Transformation einer Funktion ist definiert durch . Die inverse Laplace-Transformation von ist für ein geeignetes gegeben durch .

Hier ist eine einfache Laplace-Transformation.

In[1]:= LaplaceTransform[t^4 Sin[t], t, s]

Out[1]=

Hier ist die inverse Transformation.

In[2]:= InverseLaplaceTransform[%, s, t]

Out[2]=

Sogar einfach aussehende Transformationen führen zu speziellen Funktionen.

In[3]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^2), t, s]

Out[3]=

Hier enthält das Ergebnis eine Meijer G Funktion.

In[4]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^3), t, s]

Out[4]=

Die Laplace-Transformation einer Bessel-Funktion enthält eine hypergeometrische Funktion.

In[5]:= LaplaceTransform[BesselJ[n, t], t, s]

Out[5]=

Die Laplace-Transformation hat die Eigenschaft, daß sie Integration und Differentiation in algebraische Operationen überführt. Sie wird deshalb weithin bei der Untersuchung von Systemen eingesetzt, die von Differentialgleichungen bestimmt werden.

Integration wird nach einer Laplace-Transformation zur Multiplikation mit .

In[6]:= LaplaceTransform[Integrate[f[u], {u, 0, t}], t, s]

Out[6]=

Mehrdimensionale Laplace-Transformation

Fourier-Transformation

Eindimensionale Fourier-Transformationen

Hier ist eine Fourier-Transformation.

In[1]:= FourierTransform[1/(1 + t^4), t, Omega]

Out[1]=

So wird die inverse Transformation ermittelt.

In[2]:= InverseFourierTransform[%, Omega, t]

Out[2]=

In Mathematica ist die Fourier-Transformation einer Funktion in der Voreinstellung durch definiert. Die inverse Fourier-Transformation von ist ähnlich als definiert.

In verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen werden häufig unterschiedliche Vereinbarungen für die Definition der Fourier-Transformation verwendet. Mit der Option FourierParameters in Mathematica läßt sich jede dieser Vereinbarungen wählen.

Typische Einstellungen von FourierParameters für diverse Vereinbarungen

Hier ist eine Fourier-Transformation mit der Voreinstellung der Parameter.

In[3]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, Omega]

Out[3]=

Hier ist dieselbe Fourier-Transformation mit der für die Signalverarbeitung typischen Parameterwahl.

In[4]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, Omega,
FourierParameters->{0, -2 Pi}]

Out[4]=

Fouriersche Sinus- und Kosinustransformationen

In einigen Anwendungen von Fourier-Transformationen erweist es sich als vorteilhaft, die Einführung komplexer Exponentialausdrücke zu vermeiden. Bei den Fourierschen Sinus- und Kosinustransformationen wird entsprechend mit beziehungsweise anstelle von und mit den Grenzen 0 und statt mit und integriert.

Hier sind die Fourierschen Sinus- und Kosinustransformationen von .

In[5]:= {FourierSinTransform[Exp[-t], t, Omega],
FourierCosTransform[Exp[-t], t, Omega]}

Out[5]=

Mehrdimensionale Fourier-Transformationen

So wird eine zweidimensionale Fourier-Transformation evaluiert.

In[6]:= FourierTransform[(u v)^2 Exp[-u^2-v^2], {u, v}, {a, b}]

Out[6]=

So wird die Transformation invertiert.

In[7]:= InverseFourierTransform[%, {a, b}, {u, v}]

Out[7]=

Z-Transformationen

Z-Transformationen

Die Z-Transformation einer Funktion ist definiert durch . Die inverse Z-Transformation von ist definiert durch das Umlaufintegral . Z-Transformationen sind im Grunde diskrete Analogons der Laplace-Transformationen. Sie werden weithin zum Lösen von Differenzengleichungen eingesetzt, insbesondere in der digitalen Signalverarbeitung und Kontrolltheorie. Man kann sie sich so vorstellen, daß sie solche erzeugende Funktionen produzieren, wie sie allgemein in der Kombinatorik und Zahlentheorie verwendet werden.

Dies berechnet die Z-Transformation von .

In[1]:= ZTransform[2^-n, n, z]

Out[1]=

Hier ist die inverse Z-Transformation.

In[2]:= InverseZTransform[%, z, n]

Out[2]=

Die erzeugende Funktion für ist eine exponentielle Funktion.

In[3]:= ZTransform[1/n!, n, z]

Out[3]=

DifferentialgleichungenVerallgemeinerte Funktionen und verwandte Objekte