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Integraltransformationen und verwandte OperationenInhalt

3.5.12 Verallgemeinerte Funktionen und verwandte Objekte

In vielen praktischen Situationen ist es erforderlich, Grenzwerte zu betrachten, bei denen eine „feste Größe von etwas" in einem infinitesimalen Bereich konzentriert ist. Die gewöhnlichen mathematischen Funktionen, die man normalerweise in der Analysis antrifft, können derartige Grenzwerte nicht ohne weiteres darstellen. Es können jedoch verallgemeinerte Funktionen oder Distributionen eingeführt werden, die diese Grenzwerte in Integralen und anderen Rechnungen darstellen.

Diracsche Delta-Funktion und Sprungfunktionen

Hier ist eine Funktion konzentriert um .

In[1]:= Plot[Sqrt[50/Pi] Exp[-50 x^2], {x, -2, 2}, PlotRange->All]

Out[1]=

Mit größer werdendem werden die Funktionen zunehmend konzentrierter.

In[2]:= Plot[Evaluate[Sqrt[n/Pi] Exp[-n x^2] /. n -> {1, 10, 100}],
{x, -2, 2}, PlotRange->All];

Für beliebiges sind ihre Integrale trotzdem immer gleich 1.

In[3]:= Integrate[Sqrt[n/Pi] Exp[-n x^2], {x, -Infinity, Infinity},
Assumptions -> n > 0]

Out[3]=

Der Grenzwert der Funktionen für unendlich großes ist eine Diracsche Delta-Funktion, deren Integral wieder 1 ist.

In[4]:= Integrate[DiracDelta[x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[4]=

DiracDelta evaluiert zu 0 in allen reellen Punkten außer in .

In[5]:= Table[DiracDelta[x], {x, -3, 3}]

Out[5]=

Durch Einfügen einer Delta-Funktion in ein Integral wird im Grunde der Integrand an jenen diskreten Punkten abgetastet, an denen das Argument der Delta-Funktion verschwindet.

So wird die Funktion f mit Argument 2 abgetastet.

In[6]:= Integrate[DiracDelta[x - 2] f[x], {x, -4, 4}]

Out[6]=

Hier ist ein etwas komplizierteres Beispiel.

In[7]:= Integrate[DiracDelta[x^2 - x - 1], {x, 0, 2}]

Out[7]=

So wird die Anzahl der Nullstellen von im Integrationsbereich gezählt.

In[8]:= Integrate[DiracDelta[Cos[x]], {x, -30, 30}]

Out[8]=

Die Sprungfunktion UnitStep[x] ist im Grunde das unbestimmte Integral der Delta-Funktion. Sie ist auch als Heaviside-Funktion bekannt und hat unterschiedliche Schreibweisen , , und . Sie muß nicht als verallgemeinerte Funktion angesehen werden, obwohl sie in eine Unstetigkeit hat. Die Sprungfunktion wird häufig bei der Konstruktion stückweise stetiger Funktionen eingesetzt sowie bei der Darstellung von Signalen und anderer Größen, die nur jenseits eines Punktes von Null verschieden sind.

Das unbestimmte Integral der Delta-Funktion ist die Sprungfunktion.

In[9]:= Integrate[DiracDelta[x], x]

Out[9]=

So wird eine Rechteckswelle erzeugt.

In[10]:= Plot[UnitStep[Sin[x]], {x, 0, 30}]

Out[10]=

Hier ist das Integral der Rechteckswelle.

In[11]:= Integrate[UnitStep[Sin[x]], {x, 0, 30}]

Out[11]=

Der Wert des Integrals hängt davon ab, ob im Intervall liegt.

In[12]:= Integrate[f[x] DiracDelta[x - a], {x, -2, 2}]

Out[12]=

DiracDelta und UnitStep ergeben sich häufig bei Integraltransformationen.

Die Fourier-Transformation einer konstanten Funktion ist eine Delta-Funktion.

In[13]:= FourierTransform[1, t, Omega]

Out[13]=

Die Fourier-Transformation von enthält die Summe zweier Delta-Funktionen.

In[14]:= FourierTransform[Cos[t], t, Omega]

Out[14]=

Diracsche Delta-Funktionen können in DSolve verwendet werden, um die Impulsantwort oder Greensche Funktion von Systemen zu finden, die durch lineare und gewisse andere Differentialgleichungen dargestellt werden.

So wird das Verhalten eines harmonischen Oszillators gefunden, der bei einem Impuls ausgesetzt ist.

In[15]:= DSolve[{x''[t] + r x[t] == DiracDelta[t],
x[0]==0, x'[0]==1}, x[t], t]

Out[15]=

Mehrdimensionale Diracsche Delta- und Sprungfunktionen

Mit der mehrdimensionalen Diracschen Delta-Funktion sind zwei Funktionen ganzer Zahlen verwandt: diskretes Delta und Kroneckersymbol. Diskretes Delta ist gleich 1, wenn für alle i ist, und ist sonst Null. Kroneckersymbol ist gleich 1, wenn alle gleich sind, und ist sonst Null.

Ganzzahlige Delta-Funktionen

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