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DifferentiationAbleitungen unbekannter Funktionen

3.5.2 Vollständige Ableitungen

Vollständige Differentiationsoperationen

Wenn Sie die Ableitung eines Ausdrucks nach bestimmen, bestimmen Sie im Grunde, wie schnell sich bei einer Variation von ändert. Häufig wird nicht nur von abhängen, sondern auch von anderen Variablen, zum Beispiel und . Die Ergebnisse, die Sie erhalten, hängen dann davon ab, wie und bei der Änderung von variieren.

Es gibt zwei allgemeine Fälle: Entweder werden und als konstant betrachtet, wenn sich ändert oder sie dürfen mit variieren. Bei der normalen partiellen Ableitung werden alle Variablen außer als konstant angenommen. Bei der vollständigen Ableitung dagegen können sich alle Variablen mit ändern.

In Mathematica ergibt D[f, x] eine partielle Ableitung, bei der alle anderen Variablen als unabhängig von x betrachtet werden. Dt[f, x] ergibt die vollständige Ableitung, in der alle Variablen als von x abhängig betrachtet werden. In beiden Fällen können Sie zur weiteren Information über Abhängigkeiten ein Argument hinzufügen.

Dies ergibt die partielle Ableitung . Die Variable  wird als unabhängig von vorausgesetzt.

In[1]:= D[x^2 + y^2, x]

Out[1]=

Dies ergibt die vollständige Ableitung . Jetzt wird als abhängig von vorausgesetzt.

In[2]:= Dt[x^2 + y^2, x]

Out[2]=

Sie können durch einen Ausdruck ersetzen.

In[3]:= % /. Dt[y, x] -> yp

Out[3]=

Sie können auch eine explizite Definition für angeben. Sie müssen y/: verwenden, um sicherzustellen, daß die Definition an y gebunden wird.

In[4]:= y/: Dt[y, x] = 0

Out[4]=

Mit dieser Definition wird y von Dt als unabhängig von x behandelt.

In[5]:= Dt[x^2 + y^2 + z^2, x]

Out[5]=

Dies entfernt Ihre Definition für die Ableitung von y.

In[6]:= Clear[y]

Dies bildet die vollständige Ableitung bei festgehaltenem z.

In[7]:= Dt[x^2 + y^2 + z^2, x, Constants->{z}]

Out[7]=

Dies legt fest, daß c bei der Differentiation eine Konstante ist.

In[8]:= SetAttributes[c, Constant]

Die Variable c wird als Konstante behandelt.

In[9]:= Dt[a^2 + c x^2, x]

Out[9]=

Die Funktion c wird ebenfalls als konstant vorausgesetzt.

In[10]:= Dt[a^2 + c[x] x^2, x]

Out[10]=

Dies ergibt das vollständige Differential .

In[11]:= Dt[x^2 + c y^2]

Out[11]=

Sie können Ersetzungen und Zuweisungen für vollständige Differentiale vornehmen.

In[12]:= % /. Dt[y] -> dy

Out[12]=

DifferentiationAbleitungen unbekannter Funktionen