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Ableitungen unbekannter FunktionenDie Definition von Ableitungen

3.5.4 Fortgeschrittenes Thema: Die Darstellung von Ableitungen

Ableitungen funktionieren in Mathematica im wesentlichen genauso wie in der üblichen Mathematik. Bei der üblichen mathematischen Schreibweise bleiben jedoch oft viele Einzelheiten verborgen. Um zu verstehen, wie Ableitungen in Mathematica dargestellt werden, müssen wir diese Einzelheiten betrachten.

Die normale mathematische Schreibweise ist in Wirklichkeit eine Abkürzung für , wobei eine „Scheinvariable" ist. Ähnlich ist eine Abkürzung für . Wie durch die Schreibweise bereits angedeutet wird, kann das Objekt tatsächlich als „reine Funktion" betrachtet werden, die für eine bestimmte Auswahl ihres Parameters evaluiert werden soll. Sie können sich die Operation der Differentiation als Einwirkung auf eine Funktion vorstellen, die eine neue Funktion ergibt, die gewöhnlich mit bezeichnet wird.

Bei Funktionen mit mehr als einem Argument versagt die Schreibweise mit den Strichen. Sie können nicht sagen, ob zum Beispiel für oder für stehen soll. Die Ausdrücke haben aber für fast alle völlig verschiedene Werte. Um es noch einmal zu sagen: ist nur eine Scheinvariable, deren einziger Zweck darin besteht, anzuzeigen, nach welcher Variablen zu differenzieren ist.

In Mathematica ist es, wie in einigen Zweigen der Mathematik, zweckmäßig, die Differentiation als Operator zu betrachten, der statt auf Ausdrücken auf Funktionen wirkt. Wir benötigen eine Operation, die als Argument die Funktion hat und uns die Ableitungsfunktion zurückgibt. Operationen wie diese, die auf Funktionen statt auf Variablen wirken, sind in der Mathematik als Operatoren bekannt.

Das Objekt f' in Mathematica ist das Ergebnis der Anwendung des Differentialoperators auf die Funktion f. Die vollständige Form von f' ist Derivative[1][f]. Derivative[1] ist der Differentialoperator in Mathematica.

Die Argumente des Operators Derivative[, , ... ] geben an, wie oft die Funktion, auf die der Operator wirkt, nach jeder Variablen differenziert wird. Durch den Einsatz von Operatoren für die Darstellung der Differentiation in Mathematica wird jegliche explizite Einführung von „Scheinvariablen" überflüssig.

Dies ist die vollständige Form der Ableitung der Funktion f.

In[1]:= f' // FullForm

Out[1]//FullForm=

Hier wird ein Argument x bereitgestellt.

In[2]:= f'[x] // FullForm

Out[2]//FullForm=

Dies ist die zweite Ableitung.

In[3]:= f''[x] // FullForm

Out[3]//FullForm=

Dies liefert eine Ableitung der Funktion g nach der an zweiter Stelle stehenden Variablen.

In[4]:= D[g[x, y], y]

Out[4]=

Hier ist die vollständige Form.

In[5]:= % // FullForm

Out[5]//FullForm=

Hier ist die zweite Ableitung nach der Variablen y, die in g an zweiter Stelle steht.

In[6]:= D[g[x, y], {y, 2}] // FullForm

Out[6]//FullForm=

Dies ist eine gemischte Ableitung.

In[7]:= D[g[x, y], x, y, y] // FullForm

Out[7]//FullForm=

Da Derivative nur angibt, wie oft nach jeder Variablen differenziert werden soll, ist die Reihenfolge der Ableitungen unerheblich.

In[8]:= D[g[x, y], y, y, x] // FullForm

Out[8]//FullForm=

Hier ist ein komplizierterer Fall, da beide Argumente von g von der Differentiationsvariablen abhängen.

In[9]:= D[g[x, x], x]

Out[9]=

Dies ist die vollständige Form des Ergebnisses.

In[10]:= % // FullForm

Out[10]//FullForm=

Das Objekt f' verhält sich im wesentlichen wie jede andere Funktion in Mathematica. Sie können die Funktion mit einem beliebigen Argument evaluieren und das Argument mit normalen Mathematica-/.Operationen ändern. (Das wäre nicht möglich, wenn explizite Scheinvariablen im Verlauf der Differentiation eingeführt worden wären.)

Dies ist die Mathematica-Darstellung der Ableitung einer Funktion f, die im Ursprung evaluiert wird.

In[11]:= f'[0] // FullForm

Out[11]//FullForm=

Das Ergebnis dieser Ableitung enthält f', das mit dem Argument x^2 evaluiert wurde.

In[12]:= D[f[x^2], x]

Out[12]=

Sie können das Ergebnis im Punkt mit der normalen Mathematica-Ersetzungsoperation evaluieren.

In[13]:= % /. x->2

Out[13]=

Wenn Sie den Wert für f' herleiten müssen, indem Sie von Definitionen für Objekte wie f[x_] ausgehen, gibt es eine gewisse Feinheit zu beachten.

Hier ist eine Definition für eine Funktion h.

In[14]:= h[x_] := x^4

Wenn Sie die Ableitung von h[x] bestimmen, evaluiert Mathematica zuerst h[x] und differenziert dann das Ergebnis.

In[15]:= D[h[x], x]

Out[15]=

Sie können dasselbe Ergebnis durch Anwendung der Funktion h' auf das Argument x erhalten.

In[16]:= h'[x]

Out[16]=

Hier ist die Funktion h' selbst.

In[17]:= h'

Out[17]=

Die Funktion f' ist vollständig durch die Form der Funktion f bestimmt. Definitionen für Objekte wie f[x_] werden jedoch nicht sofort auf Ausdrücke wie f'[x] angewandt. Das Problem besteht darin, daß f'[x] die vollständige Form Derivative[1][f][x] hat, die an keiner Stelle etwas enthält, das explizit zum Muster f[x_] paßt. Außerdem ist es für viele Zwecke nützlich, über eine Darstellung der Funktion f' selbst zu verfügen, ohne sie notwendigerweise auf irgendwelche Argumente anzuwenden.

Mathematica versucht nun die explizite Form einer reinen Funktion zu finden, die das Objekt f' repräsentiert. Wenn Mathematica einen Ausdruck wie Derivative[1][f] bekommt, versucht es, ihn in die explizite Form D[f[#], #]& zu konvertieren und dann die Ableitung zu evaluieren. In der expliziten Form kann Mathematica sofort Werte benutzen, die für Objekte wie f[x_] definiert wurden. Wenn Mathematica die Ableitung erfolgreich bestimmt hat, gibt es das Ergebnis explizit als reine Funktion zurück. Falls es nicht erfolgreich war, beläßt es die Ableitung in der ursprünglichen f'-Form.

Dies ergibt die Ableitung von Tan in Form einer reinen Funktion.

In[18]:= Tan'

Out[18]=

Hier ist das Ergebnis der Anwendung der reinen Funktion auf das spezielle Argument y.

In[19]:= %[y]

Out[19]=

Ableitungen unbekannter FunktionenDie Definition von Ableitungen