This is documentation for Mathematica 4, which was
based on an earlier version of the Wolfram Language.
View current documentation (Version 11.2)

 Documentation /  Mathematica /  Das Mathematica Buch /  Höhere Mathematik in Mathematica /  Differential- und Integralrechnung /

Die Definition von AbleitungenIntegrale, die Mathematica (nicht) auswerten kann

3.5.6 Unbestimmte Integrale

Die Mathematica-Funktion Integrate[f, x] liefert das unbestimmte Integral . Die Operation der unbestimmten Integration kann als eine Umkehrung der Differentiation angesehen werden. Wird das Ergebnis von Integrate[f, x] differenziert, erhält man stets ein Ergebnis, das zum ursprünglichen Ausdruck f mathematisch gleich ist.

Im allgemeinen existiert jedoch eine ganze Familie von Ergebnissen mit der Eigenschaft, daß ihre Ableitung f ist. Integrate[f, x] liefert einen Ausdruck, dessen Ableitung f ist. Andere Ausdrücke können Sie erhalten, indem Sie eine beliebige Integrationskonstante addieren, oder Sie addieren eine Funktion, die bis auf diskrete Punkte konstant ist.

Werden für Integrale explizite Grenzen angegeben, müssen alle derartigen Integrationskonstanten wegfallen. Obwohl das unbestimmte Integral eine beliebige Konstante enthalten kann, ist es häufig doch sehr zweckmäßig, es ohne Festlegung der Grenzen zu manipulieren.

Mathematica berechnet unbestimmte Integrale mit Standardregeln.

In[1]:= Integrate[x^2, x]

Out[1]=

Sie können zum unbestimmten Integral eine beliebige Konstante addieren und immer noch dieselbe Ableitung erhalten. Integrate liefert einfach einen Ausdruck mit der geforderten Ableitung.

In[2]:= D[ % + c, x]

Out[2]=

Dies liefert das unbestimmte Integral .

In[3]:= Integrate[1/(x^2 - 1), x]

Out[3]=

Die Differentiation sollte die ursprüngliche Funktion zurückgeben.

In[4]:= D[%, x]

Out[4]=

Sie müssen den Ausdruck manipulieren, um ihn in der ursprünglichen Form zu erhalten.

In[5]:= Simplify[%]

Out[5]=

Die Funktion Integrate geht davon aus, daß jedes Objekt, das nicht explizit die Integrationsvariable enthält, von ihr unabhängig ist und als Konstante behandelt werden kann. Folglich wirkt Integrate wie eine Inverse der Funktion partielle Differentiation D.

Die Variable a wird als von x unabhängig betrachtet.

In[6]:= Integrate[a x^2, x]

Out[6]=

Jeder Ausdruck, der nicht explizite mathematische Operationen enthält, kann Integrationsvariable sein.

In[7]:= Integrate[x b[x]^2, b[x]]

Out[7]=

Integrate setzt implizit auch voraus, daß alle symbolischen Größen im Integranden „allgemeine" Werte haben. So wird Mathematica zum Beispiel mitteilen, daß gleich ist, obwohl das im Fall nicht wahr ist.

Mathematica liefert das wohlbekannte Ergebnis für dieses Integral, wobei es implizit voraussetzt, daß n ungleich -1 ist.

In[8]:= Integrate[x^n, x]

Out[8]=

Wenn Sie ausdrücklich den Exponenten -1 angeben, erzeugt Mathematica ein anderes Ergebnis.

In[9]:= Integrate[x^-1, x]

Out[9]=

Die Ergebnisse, die Sie durch die Integration erhalten, können oft in vielen verschiedenen Formen geschrieben werden. Mathematica versucht, die beste Form anzugeben und befolgt dabei Prinzipien wie zum Beispiel, explizite komplexe Zahlen zu vermeiden, wenn die Eingabe keine enthält.

Mathematica schreibt dieses Integral mit ArcTan.

In[10]:= Integrate[1/(1 + a x^2), x]

Out[10]=

Dieses Integral wird mit ArcTanh geschrieben.

In[11]:= Integrate[1/(1 - b x^2), x]

Out[11]=

Dies ist mathematisch gleich dem ersten Integral, wird aber in einer etwas anderen Form angegeben.

In[12]:= % /. b -> -a

Out[12]=

Die Ableitung ist noch korrekt.

In[13]:= D[%, x]

Out[13]=

Obwohl sie recht unterschiedlich aussehen, sind sowohl ArcTan[x] als auch -ArcTan[1/x] unbestimmte Integrale von .

In[14]:= Simplify[D[{ArcTan[x], -ArcTan[1/x]}, x]]

Out[14]=

Integrate wählt die einfachere der zwei Formen.

In[15]:= Integrate[1/(1 + x^2), x]

Out[15]=

Die Definition von AbleitungenIntegrale, die Mathematica (nicht) auswerten kann