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Unbestimmte IntegraleBestimmte Integrale

3.5.7 Integrale, die Mathematica (nicht) auswerten kann

Die Evaluierung von Integralen ist wesentlich schwieriger als die von Ableitungen. Für Ableitungen gibt es ein systematisches Verfahren, mit dem man durch Einsatz der Kettenregel im Grunde jede Ableitung berechnen kann. Für Integrale existiert jedoch kein derartiges systematisches Verfahren.

Eines der Hauptprobleme besteht darin zu wissen, welche Arten von Funktionen zur Evaluierung eines speziellen Integrals benötigt werden. Wenn Sie ableiten, dann werden Sie immer zu Funktionen gelangen, die von derselben Art oder einfacher sind, als die Funktionen, mit denen Sie begannen. Bei der Integration werden Sie am Ende immer Funktionen verwenden müssen, die sehr viel komplizierter sind als die, die Sie integrieren.

Dieses Integral kann mit Funktionen derselben Art wie in der Eingabe evaluiert werden.

In[1]:= Integrate[Log[x]^2, x]

Out[1]=

Für dieses Integral wird hingegen die spezielle Funktion LogIntegral benötigt.

In[2]:= Integrate[Log[Log[x]], x]

Out[2]=

Es lassen sich leicht Integrale finden, die alle möglichen Funktionsarten erfordern.

In[3]:= Integrate[Sin[x^2], x]

Out[3]=

Einfach aussehende Integrale können bemerkenswert komplizierte Ergebnisse liefern. Häufig ist die Anwendung von Simplify angebracht.

In[4]:= Simplify[ Integrate[Log[x] Exp[-x^2], x] ]

Out[4]=

Das Integral beinhaltet eine unvollständige Gamma-Funktion. Beachten Sie, daß die Potenz so sorgfältig konstruiert wurde, daß jeder komplexe Wert von x möglich ist.

In[5]:= Integrate[Exp[-x^a], x]

Out[5]=

Mathematica enthält eine große Anzahl mathematischer Funktionen, und mit diesen können sehr viele Integrale erledigt werden. Es ist jedoch immer noch möglich, selbst einfach aussehende Integranden zu finden, deren Integral sich nicht mit den gewohnten mathematischen Funktionen schreiben läßt.

Hier ist ein recht einfach aussehendes Integral, daß sich mit den gewohnten mathematischen Funktionen nicht lösen läßt.

In[6]:= Integrate[Sin[x]/Log[x], x]

Out[6]=

Der Hauptgrund dafür, ein Integral mit üblichen mathematischen Funktionen zu schreiben, besteht darin, daß man dann die bekannten Eigenschaften dieser Funktionen zur Evaluierung oder Manipulation des Ergebnisses einsetzen kann.

In den angenehmsten Fällen lassen sich Integrale nur mit elementaren Funktionen wie Exponential- und Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen schreiben. Eine der Hauptfähigkeiten von Integrate besteht darin, im wesentlichen für jeden Integranden, der nur derartige elementare Funktionen enthält, das Integral finden zu können, wenn es sich durch die elementaren Funktionen ausdrücken läßt.

Integrale rationaler Funktionen lassen sich gewöhnlich ziemlich einfach evaluieren und immer mit rationalen Funktionen zusammen mit Logarithmusfunktionen und inversen trigonometrischen Funktionen schreiben.

In[7]:= Integrate[x/((x - 1)(x + 2)), x]

Out[7]=

Das Integral hier ist immer noch in derselben Form, es enthält jetzt aber eine implizite Summe über die Wurzeln eines Polynoms.

In[8]:= Integrate[1/(1 + 2x + x^3), x]

Out[8]=

Dies ermittelt numerische Näherungen für alle Wurzel-Objekte.

In[9]:= N[%]

Out[9]=

Integrale trigonometrischer Funktionen lassen sich gewöhnlich durch andere trigonometrische Funktionen ausdrücken.

In[10]:= Integrate[Sin[x]^3 Cos[x]^2, x]

Out[10]=

Hier ist eine andere Form des Ergebnisses.

In[11]:= Simplify[%]

Out[11]=

Dies ist ein recht einfaches Integral mit algebraischen Funktionen.

In[12]:= Integrate[Sqrt[x] Sqrt[1 + x], x]

Out[12]=

Dies ist ein Integral mit verschachtelten Quadratwurzeln.

In[13]:= Integrate[Sqrt[x + Sqrt[x]], x]

Out[13]=

Durch Verschachtelung elementarer Funktionen erhalten Sie mitunter Integrale, die sich mit elementaren Funktionen schreiben lassen.

In[14]:= Integrate[Cos[Log[x]], x]

Out[14]=

Es werden jedoch häufig andere Funktionen benötigt.

In[15]:= Integrate[Log[Cos[x]], x]

Out[15]=

Integrale wie diese lassen sich in der Regel mit elliptischen Funktionen schreiben.

In[16]:= Integrate[Sqrt[Cos[x]], x]

Out[16]=

Gelegentlich erhält man jedoch Ergebnisse, die nur elementare Funktionen enthalten.

In[17]:= Integrate[Sqrt[Tan[x]], x]

Out[17]=

Integrate kann natürlich nicht nur mit elementaren Funktionen arbeiten, sondern beinhaltet darüber hinaus auch eine große Anzahl Algorithmen zum Umgang mit speziellen Funktionen. Mitunter verwendet es eine direkte Verallgemeinerung der Prozedur für elementare Funktionen. Häufiger besteht seine Strategie jedoch im Versuch, den Integranden in einer Form zu schreiben, deren Integral sich mit gewissen komplizierten speziellen Funktionen schreiben läßt; anschließend wird dann versucht, diese komplizierten Funktionen auf bekanntere Funktionen zu reduzieren.

Zur Integration dieser Bessel-Funktion ist eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion erforderlich.

In[18]:= Integrate[BesselJ[0, x], x]

Out[18]=

Auch zur Integration eines elliptischen Integrals wird eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion benötigt.

In[19]:= Integrate[EllipticK[x], x]

Out[19]=

Mitunter lassen sich die Integrale in bekanntere Formen reduzieren.

In[20]:= Integrate[x BesselJ[0, x], x]

Out[20]=

Ein umfangreiches Buch mit Integraltabellen wird vielleicht ein paar Tausend unbestimmter Integrale aufführen. Mathematica kann im Grunde alle diese Integrale auswerten. Und da Mathematica allgemeine statt nur spezielle Fälle enthält, kann es einen sehr viel größeren Bereich an Integralen auswerten.

Dieses Integral sollte man eigentlich in jedem umfangreichen Buch mit Integraltabellen finden können.

In[21]:= Integrate[Log[1 - x]/x, x]

Out[21]=

Diese Integrationsaufgabe läßt sich jedoch nicht durch direktes Nachschlagen lösen, es wird vielmehr ein allgemeinerer Algorithmus benötigt.

In[22]:= Integrate[Log[1 + 3 x + x^2]/x, x] // Short

Out[22]//Short=

Insbesondere dann, wenn eigene neue mathematische Funktionen eingeführt werden, wird man Mathematica neue Arten von Integralen beibringen wollen. Dies läßt sich durch entsprechende Definitionen für Integrate erreichen.

Bei der Differentiation lassen sich alle Ableitungen mit der Kettenregel in eine Normalform, die in Mathematica mit Derivative dargestellt wird, überführen. Für Integrale gibt es jedoch keine derartige Normalform und deshalb müssen häufig Definitionen für mehrere verschiedene Versionen desselben Integrals angegeben werden. Variablenwechsel und andere Transformationen lassen sich kaum jemals automatisch mit Integrate durchführen.

Dieses Integral läßt sich nicht mit in Mathematica eingebauten üblichen mathematischen Funktionen schreiben.

In[23]:= Integrate[Sin[Sin[x]], x]

Out[23]=

Bevor Sie Ihre eigenen Integrationsregeln hinzufügen, müssen Sie den Schreibschutz aufheben.

In[24]:= Unprotect[Integrate]

Out[24]=

Sie können nun Ihre eigenen Regeln aufstellen, um das Integral beispielsweise als „Schmidt-Funktion" zu definieren.

In[25]:= Integrate[Sin[Sin[a_. + b_. x]], x] :=
Schmidt[a, x]/b

Jetzt kann Mathematica Integrale, die die Schmidt-Funktionen ergeben, auswerten.

In[26]:= Integrate[Sin[Sin[3x]], x]

Out[26]=

Es stellt sich heraus, daß das Integral im Prinzip als eine unendliche Summe von hypergeometrischen Funktionen oder als eine geeignet verallgemeinerte Kampé de Fériet-hypergeometrische Funktion zweier Variablen dargestellt wird.

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