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Integrale, die Mathematica (nicht) auswerten kannDie Manipulation von Integralen in symbolischer Form

3.5.8 Bestimmte Integrale

Integrationsfunktionen

Hier ist das Integral .

In[1]:= Integrate[x^2, {x, a, b}]

Out[1]=

Dies liefert das mehrfache Integral .

In[2]:= Integrate[x^2 + y^2, {x, 0, a}, {y, 0, b}]

Out[2]=

Das y-Integral wird zuerst berechnet. Seine Grenzen können vom Wert x abhängen. Die Anordnung ist dieselbe wie bei den Funktionen Sum und Table.

In[3]:= Integrate[x^2 + y^2, {x, 0, a}, {y, 0, x}]

Out[3]=

In einfachen Fällen lassen sich bestimmte Integrale lösen, indem man erst unbestimmte Formen ermittelt und dann die jeweiligen Grenzen einsetzt. Es gibt jedoch eine große Anzahl Integrale, für die sich die unbestimmte Form nicht mit üblichen mathematischen Funktionen ausdrücken läßt, während dies für die bestimmte Form hingegen möglich ist.

Dieses unbestimmte Integral läßt sich nicht mit üblichen mathematischen Funktionen ausdrücken.

In[4]:= Integrate[Cos[Sin[x]], x]

Out[4]=

Das bestimmte Integral kann jedoch mit Besselfunktionen geschrieben werden.

In[5]:= Integrate[Cos[Sin[x]], {x, 0, 2Pi}]

Out[5]=

Hier ist ein Integral, für das die unbestimmte Form gefunden werden kann; es ist jedoch sehr viel effizienter, die bestimmte Form direkt auszuarbeiten.

In[6]:= Integrate[Log[x] Exp[-x^2], {x, 0, Infinity}]

Out[6]=

Es muß nicht sein, daß das unbestimmte Integral kompliziert ist, nur weil ein Integrand spezielle Funktionen enthält.

In[7]:= Integrate[BesselK[0, x]^2, {x, 0, Infinity}]

Out[7]=

In diesem Ergebnis treten trotzdem noch spezielle Funktionen auf.

In[8]:= Integrate[BesselK[0, x] BesselJ[0, x], {x, 0, Infinity}]

Out[8]=

Hier ist der Integrand einfach, das bestimmte Integral ist es nicht.

In[9]:= Integrate[Sin[x^2] Exp[-x], {x, 0, Infinity}]

Out[9]=

Wenn Sie die unbestimmte Form eines Integrals finden und dann einfach die Differenz der Grenzwerte an beiden Endpunkten bilden, werden Sie häufig als Antwort nicht den korrekten Wert für das bestimmte Integral erhalten. Dies kann zum Beispiel so sein, wenn es im Integrationsbereich Singularitäten gibt, deren Auswirkungen bei dieser Strategie unberücksichtigt bleiben.

Hier ist das unbestimmte Integral von .

In[10]:= Integrate[1/x^2, x]

Out[10]=

Hier werden jetzt die Grenzwerte an jedem Endpunkt subtrahiert.

In[11]:= Limit[%, x->2] - Limit[%, x->-2]

Out[11]=

Das wahre bestimmte Integral ist jedoch divergent, weil bei ein Doppelpol vorliegt.

In[12]:= Integrate[1/x^2, {x, -2, 2}]

Out[12]=

Hier ist ein subtileres Beispiel mit Verzweigungsschnitten statt mit Polen.

In[13]:= Integrate[1/(1 + a Sin[x]), x]

Out[13]=

Subtrahiert man die Grenzwerte der unbestimmten Integrale, so ergibt sich 0.

In[14]:= Limit[%, x -> 2Pi] - Limit[%, x -> 0]

Out[14]=

Das bestimmte Integral ergibt jedoch das (korrekte) Ergebnis, das von abhängt.

In[15]:= Integrate[1/(1 + a Sin[x]), {x, 0, 2Pi}]

Out[15]=

Hauptwert-Integrale

Hier ist das unbestimmte Integral von .

In[16]:= Integrate[1/x, x]

Out[16]=

Substitution der Grenzwerte und führt zu einem seltsamen Ergebnis, das enthält.

In[17]:= Limit[%, x -> 2] - Limit[%, x -> -1]

Out[17]=

Das übliche bestimmte Riemann-Integral ist divergent.

In[18]:= Integrate[1/x, {x, -1, 2}]

Out[18]=

Der Cauchy-Hauptwert ist jedoch endlich.

In[19]:= Integrate[1/x, {x, -1, 2}, PrincipalValue->True]

Out[19]=

Wenn in einem unbestimmten Integral Parameter auftauchen, dann ist es im Grunde immer möglich, Ergebnisse zu erhalten, die für beinahe alle Werte dieser Parameter korrekt sind. Dies gilt jedoch nicht mehr für bestimmte Integrale. Das am häufigsten auftretende Problem besteht darin, daß ein bestimmtes Integral nur dann konvergieren wird, wenn die Parameter, die darin erscheinen, gewisse besondere Bedingungen erfüllen.

Dieses unbestimmte Integral ist für alle korrekt.

In[20]:= Integrate[x^n, x]

Out[20]=

Für das bestimmte Integral muß jedoch eine Bedingung erfüllen, damit das Integral konvergent wird.

In[21]:= Integrate[x^n, {x, 0, 1}]

Out[21]=

Wird durch 2 ersetzt, ist die Bedingung erfüllt.

In[22]:= % /. n -> 2

Out[22]=

Optionen für Integrate

Unter der Annahme ist das Ergebnis immer .

In[23]:= Integrate[x^n, {x, 0, 1}, Assumptions -> (n > 2)]

Out[23]=

Auch wenn ein bestimmtes Integral konvergent ist, kann das Vorhandensein von Singularitäten auf dem Integrationspfad zu unstetigen Übergängen führen, wenn die Parameter variieren. Mitunter kann das Ergebnis in einer einzigen Formel, die Funktionen wie Sign enthält, zusammengefaßt werden. In anderen Fällen ist ein explizites If angebrachter.

If liefert in diesem Fall die Bedingung für die Konvergenz des Integrals.

In[24]:= Integrate[Sin[a x]/x, {x, 0, Infinity}]

Out[24]=

Hier das Ergebnis unter der Annahme, daß reell ist.

In[25]:= Integrate[Sin[a x]/x, {x, 0, Infinity},
Assumptions -> Im[a] == 0]

Out[25]=

Das Ergebnis ist eine nicht-stetige Funktion von . Die Unstetigkeit kann auf die wesentliche Singularität von in zurückgeführt werden.

In[26]:= Plot[%, {a, -5, 5}]

Out[26]=

Diese Antworten lassen sich nicht auf einfache Weise mit Sign darstellen, deshalb erzeugt Mathematica ein explizites If.

In[27]:= Integrate[Sin[x] BesselJ[0, a x]/x, {x, 0, Infinity},
Assumptions -> Im[a] == 0]

Out[27]=

Hier ist ein Diagramm der sich ergebenden Funktion von .

In[28]:= Plot[Evaluate[%], {a, -5, 5}]

Out[28]=

Integrale, die Mathematica (nicht) auswerten kannDie Manipulation von Integralen in symbolischer Form