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InhaltFortgeschrittenes Thema: Die Darstellung von Potenzreihen

3.6.1 Entwicklungen in Potenzreihen

Funktionen zur Erzeugung von Potenzreihen

Hier ist die Potenzreihenentwicklung für um den Punkt bis zur Ordnung .

In[1]:= Series[ Exp[x], {x, 0, 4} ]

Out[1]=

Hier ist die Reihenentwicklung von um den Punkt .

In[2]:= Series[ Exp[x], {x, 1, 4} ]

Out[2]=

Wenn Mathematica die Reihenentwicklung einer bestimmten Funktion nicht kennt, schreibt es das Ergebnis symbolisch mit den Ableitungen auf.

In[3]:= Series[ f[x], {x, 0, 3} ]

Out[3]=

In mathematischer Ausdrucksweise kann Series als Möglichkeit zur Konstruktion von Taylor-Reihen für Funktionen betrachtet werden.

Die Standardformel für die Taylor-Reihenentwicklung einer Funktion mit -ter Ableitung um den Punkt ist . Immer wenn diese Formel angewandt wird, liefert sie dieselben Ergebnisse wie Series. (Für übliche Funktionen benutzt Series aber intern etwas effizientere Algorithmen.)

Series kann auch einige Potenzreihen erzeugen, die gebrochene und negative Potenzen enthalten, die nicht direkt durch die normale Taylorreihenformel abgedeckt werden.

Hier ist eine Potenzreihe, die negative Potenzen von x enthält.

In[4]:= Series[ Exp[x]/x^2, {x, 0, 4} ]

Out[4]=

Hier ist eine Potenzreihe mit gebrochenen Potenzen von x.

In[5]:= Series[ Exp[Sqrt[x]], {x, 0, 2} ]

Out[5]=

Series kann auch mit Reihen umgehen, die logarithmische Terme enthalten.

In[6]:= Series[ Exp[2x] Log[x], {x, 0, 2} ]

Out[6]=

Natürlich gibt es mathematische Funktionen, für die keine normalen Potenzreihen existieren. Mathematica erkennt viele derartige Fälle.

Series sieht, daß eine wesentliche Singularität in hat, und erzeugt die Potenzreihe deshalb nicht.

In[7]:= Series[ Exp[1/x], {x, 0, 2} ]

Out[7]=

Series kann trotzdem die Potenzreihe für um den Punkt liefern.

In[8]:= Series[ Exp[1/x], {x, Infinity, 3} ]

Out[8]=

Besonders wenn negative Potenzen auftreten, gibt es einige Schwierigkeiten bei der Festlegung, wieviele Terme einer bestimmten Potenzreihe die Funktion Series erzeugen soll.

Um zu verstehen, was geschieht, denke man an die Analogie zwischen Potenzreihen, die bis zu einer bestimmten Ordnung entwickelt werden, und reellen Zahlen, die bis zu einer bestimmten Anzahl präziser Stellen angegeben werden. Potenzreihen sind „Näherungsformeln" in weitgehend demselben Sinn, wie Zahlen endlicher Präzision approximierte reelle Zahlen sind.

Bei der Konstruktion von Potenzreihen setzt Series ein Verfahren ein, das weitgehend dem entspricht, das N bei der Konstruktion der Approximation einer reellen Zahl befolgt. Beide Funktionen starten im Grunde, indem sie die kleinsten Teile Ihres Ausdrucks durch Approximationen endlicher Ordnung oder endlicher Präzision ersetzen und dann den sich ergebenden Ausdruck evaluieren. Falls zum Beispiel Auslöschungen auftreten, kann dieses Verfahren ein Endergebnis liefern, dessen Ordnung oder Präzision niedriger ist als die Ordnung oder Präzision, die Sie ursprünglich verlangt hatten. Series ist jedoch ebenso wie N in der Lage, die Berechnungen so zu wiederholen, daß die Ergebnisse die verlangte Ordnung haben. In den Fällen, wo dies nicht zum Erfolg führt, kann man gewöhnlich doch noch Ergebnisse bis zu einer bestimmten Ordnung erhalten, indem man eine höhere Ordnung als nötig verlangt.

Series kompensiert die Auslöschungen in dieser Berechnung und kann ein Ergebnis bis zur Ordnung liefern.

In[9]:= Series[ Sin[x]/x^2, {x, 0, 3} ]

Out[9]=

Wenn eine Potenzreihe nach einer Variablen x entwickelt wird, setzt Mathematica voraus, daß alle Objekte, die nicht explizit x enthalten, tatsächlich unabhängig von x sind. Series bildet daher partielle Ableitungen (effektiv mit D), um Taylor-Reihen zu konstruieren.

Sowohl a als auch n werden als unabhängig von x vorausgesetzt.

In[10]:= Series[ (a + x)^n , {x, 0, 2} ]

Out[10]=

a[x] wird jetzt als explizite Funktion von x angegeben.

In[11]:= Series[ (a[x] + x)^n, {x, 0, 2} ]

Out[11]=

Mit Series können Potenzreihen nach einer Folge verschiedener Variablen entwickelt werden. Series funktioniert wie Integrate, Sum usw. und entwickelt zuerst nach der zuletzt spezifizierten Variablen.

Series führt eine Reihenentwicklung nacheinander nach jeder Variablen aus. In diesem Fall ist das Ergebnis eine Reihe in x, deren Koeffizienten Reihen in y sind.

In[12]:= Series[Exp[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]

Out[12]=

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