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Fortgeschrittenes Thema: Die Darstellung von PotenzreihenFortgeschrittenes Thema: Verkettung und Inversion von Potenzreihen

3.6.3 Operationen auf Potenzreihen

In Mathematica können viele Operationen mit Potenzreihen ausgeführt werden. Mathematica gibt Ergebnisse stets nur mit so vielen Termen zurück, wie es durch die Genauigkeit der Eingabe gerechtfertigt werden kann.

Hier ist eine Potenzreihe, die bis zur vierten Ordnung in genau ist.

In[1]:= Series[ Exp[x], {x, 0, 4} ]

Out[1]=

Wenn Sie die Potenzreihe quadrieren, erhalten Sie eine andere Potenzreihe, die ebenfalls bis zur vierten Ordnung genau ist.

In[2]:= %^2

Out[2]=

Wenn Sie den Ausdruck logarithmieren, erhalten Sie das Ergebnis 2x, aber nur bis zur Ordnung .

In[3]:= Log[%]

Out[3]=

Mathematica führt über die Ordnungen von Potenzreihen Buch, und dies weitgehend so, wie es die Präzision von Gleitpunktzahlen beachtet. Genau wie bei numerischen Berechnungen gibt es Operationen mit Potenzreihen, die die Präzision (oder Ordnung) Ihrer Ergebnisse erhöhen oder vermindern.

Hier ist eine Potenzreihe, entwickelt (genau) bis zur Ordnung .

In[4]:= Series[ Cos[x], {x, 0, 10} ]

Out[4]=

Dies ergibt eine Potenzreihe, die nur bis zur Ordnung genau ist.

In[5]:= 1 / (1 - %)

Out[5]=

In Mathematica können auch Differential- und Integraloperationen mit Potenzreihen ausgeführt werden.

Hier ist eine Potenzreihe für .

In[6]:= Series[Tan[x], {x, 0, 10}]

Out[6]=

Hier ist ihre Ableitung nach x.

In[7]:= D[%, x]

Out[7]=

Die Integration bezüglich der Integrationsvariablen x liefert die ursprüngliche Potenzreihe zurück.

In[8]:= Integrate[%, x]

Out[8]=

Wird eine Operation ausgeführt, die sowohl einen normalen Ausdruck als auch eine Potenzreihe beinhaltet, „absorbiert" Mathematica den normalen Ausdruck in die Potenzreihe, wann immer dies möglich ist.

Die 1 wird automatisch in die Potenzreihe absorbiert.

In[9]:= 1 + Series[Exp[x], {x, 0, 4}]

Out[9]=

Der Ausdruck x^2 wird ebenfalls in die Potenzreihe absorbiert.

In[10]:= % + x^2

Out[10]=

Wenn Sie Sin[x] addieren, erzeugt Mathematica die passende Potenzreihe für Sin[x] und kombiniert diese mit Ihrer Potenzreihe.

In[11]:= % + Sin[x]

Out[11]=

Mathematica absorbiert auch Ausdrücke, die mit Potenzreihen multipliziert werden. Das Symbol a wird als unabhängig von x vorausgesetzt.

In[12]:= (a + x) %^2

Out[12]=

Mathematica kann eine große Anzahl von Funktionen auf Potenzreihen anwenden. Wird jedoch eine nicht weiter spezifizierte Funktion auf eine Potenzreihe angewendet, kann Mathematica nur ein symbolisches Ergebnis liefern.

Mathematica weiß nicht, wie die Funktion f auf die Potenzreihe anzuwenden ist, und läßt das symbolische Ergebnis stehen.

In[13]:= f[ Series[ Exp[x], {x, 0, 3} ] ]

Out[13]=

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