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Lösen von Gleichungen, die Potenzreihen enthaltenBestimmen von Grenzwerten

3.6.7 Summierung von Reihen

Summen evaluieren

Mathematica erkennt dies als die Potenzreihenentwicklung von .

In[1]:= Sum[x^n/n!, {n, 0, Infinity}]

Out[1]=

Diese Summe ergibt eine Bessel-Funktion.

In[2]:= Sum[x^n/(n!^2), {n, 0, Infinity}]

Out[2]=

Hier ist eine andere Summe, die sich mittels anderer allgemein üblicher Funktionen ausdrücken läßt.

In[3]:= Sum[n! x^n/(2n)!, {n, 1, Infinity}]

Out[3]=

Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen sind nicht selten in Summen.

In[4]:= Sum[x^n/(n!^4), {n, 0, Infinity}]

Out[4]=

Es gibt viele Analogien zwischen Summen und Integralen. Und so, wie es unbestimmte Integrale gibt, so können unbestimmte Summen mit symbolischen Variablen als obere Summationsgrenzen konstruiert werden.

Dies ist im Grunde eine unbestimmte Summe.

In[5]:= Sum[k, {k, 0, n}]

Out[5]=

Die Summierung ergibt hier Terme mit unvollständigen Gamma-Funktionen.

In[6]:= Sum[x^k/k!, {k, 0, n}]

Out[6]=

Diese Summe enthält Polygamma- Funktionen.

In[7]:= Sum[1/k^4, {k, 1, n}]

Out[7]=

Nimmt man die Differenz für aufeinanderfolgende Werte von , so erhält man wieder den ursprünglichen Summanden.

In[8]:= FullSimplify[ % - (% /. n->n-1) ]

Out[8]=

Mathematica kennt im Grunde alle Summen, die in Tabellenwerken gefunden werden können. So wie bei unbestimmten Integralen gibt es in der Regel bei „unbestimmten" Summen von Ausdrücken, in denen einfache Funktionen auftreten, Antworten, die kompliziertere Funktionen enthalten. Bestimmte Summen lassen sich jedoch häufig, so wie bestimmte Integrale, mittels einfacherer Funktionen schreiben.

Diese unbestimmte Summe liefert ein recht kompliziertes Ergebnis.

In[9]:= Sum[Binomial[2k, k]/3^(2k), {k, 0, n}]

Out[9]=

Die bestimmte Form ist sehr viel einfacher.

In[10]:= Sum[Binomial[2k, k]/3^(2k), {k, 0, Infinity}]

Out[10]=

Hier ist eine etwas kompliziertere bestimmte Summe.

In[11]:= Sum[PolyGamma[k]/k^2, {k, 1, Infinity}]

Out[11]=

Lösen von Gleichungen, die Potenzreihen enthaltenBestimmen von Grenzwerten