This is documentation for Mathematica 4, which was
based on an earlier version of the Wolfram Language.
View current documentation (Version 11.2)

 Documentation /  Mathematica /  Das Mathematica Buch /  Höhere Mathematik in Mathematica /  Potenzreihen, Grenzwerte und Residuen /

Summierung von ReihenResiduen

3.6.8 Bestimmen von Grenzwerten

Bei vielen Berechnungen müssen Sie Ausdrücke evaluieren, in denen Variablen bestimmte Werte annehmen. In vielen Fällen können Sie dies einfach durch Anwenden von Transformationsregeln auf die Variablen mittels des /.-Operators realisieren.

Sie können den Wert von im Punkt 0 durch explizites Ersetzen von durch 0 und anschließender Evaluierung des Ergebnisses erhalten.

In[1]:= Cos[x^2] /. x -> 0

Out[1]=

Manchmal müssen Sie jedoch vorsichtiger sein.

Betrachten Sie zum Beispiel das Problem, den Wert des Ausdrucks für zu finden. Wenn Sie in diesem Ausdruck einfach durch ersetzen, erhalten Sie das unbestimmte Ergebnis . Um den korrekten Wert von für zu bestimmen, müssen Sie den Grenzwert nehmen.

Bestimmung von Grenzwerten

Dies ergibt den korrekten Wert für den Grenzwert von für .

In[2]:= Limit[ Sin[x]/x, x -> 0 ]

Out[2]=

In diesem Fall existiert kein endlicher Grenzwert.

In[3]:= Limit[ Sin[x]/x^2, x -> 0 ]

Out[3]=

Limit findet diesen Grenzwert, obwohl Sie keine gewöhnliche Potenzreihe für in erhalten können.

In[4]:= Limit[ x Log[x], x -> 0 ]

Out[4]=

Dasselbe gilt hier.

In[5]:= Limit[ ( 1 + 2 x ) ^ (1/x), x -> 0 ]

Out[5]=

Der Wert von Sign[x] in x=0 ist 0.

In[6]:= Sign[0]

Out[6]=

Der Grenzwert ist jedoch 1. Der Grenzwert wird in der Voreinstellung von oben angestrebt.

In[7]:= Limit[Sign[x], x -> 0]

Out[7]=

Manche Funktionen haben in bestimmten Punkten unbestimmte Grenzwerte. Die Funktion oszilliert zum Beispiel in der Nähe von unendlich oft, so daß sie dort keinen bestimmten Grenzwert besitzt. Trotzdem liegen die Funktionswerte in der Nähe von , zumindest so lange, wie reell bleibt, immer zwischen und 1. Limit repräsentiert Werte mit beschränkter Variation durch Interval-Objekte. Im allgemeinen repräsentiert Interval[xmin, xmax] einen unbestimmten Wert, der irgendwo im Intervall zwischen xmin und xmax liegt.

Limit liefert ein Interval-Objekt, das den Bereich der möglichen Werte von in der Nähe der wesentlichen Singularität in repräsentiert.

In[8]:= Limit[ Sin[1/x], x -> 0 ]

Out[8]=

Mathematica kann mit Interval- Objekten rechnen.

In[9]:= (1 + %)^3

Out[9]=

Mathematica repräsentiert diesen Grenzwert symbolisch mit einem Interval- Objekt.

In[10]:= Limit[ Exp[Sin[x]], x -> Infinity ]

Out[10]=

Einige Funktionen können in bestimmten Punkten unterschiedliche Grenzwerte haben, je nachdem, aus welcher Richtung man sich diesen Punkten nähert. Mit der Option Direction für Limit können Sie die gewünschte Richtung angeben.

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion hat in einen unterschiedlichen Grenzwert, je nachdem, ob man sich dem Nullpunkt von unten oder von oben nähert.

In[11]:= Plot[1/x, {x, -1, 1}]

Out[11]=

Die Annäherung von unten ergibt den Grenzwert .

In[12]:= Limit[ 1/x, x -> 0, Direction -> 1 ]

Out[12]=

Die Annäherung von oben ergibt den Grenzwert .

In[13]:= Limit[ 1/x, x -> 0, Direction -> -1 ]

Out[13]=

Limit macht keine Annahmen über Funktionen wie f[x], bei denen es über keine eindeutige Information verfügt. Folglich bleibt Limit bei symbolischen Funktionen zumeist unevaluiert.

Limit hat keine eindeutige Information über f und beläßt deshalb diesen Grenzwert unevaluiert.

In[14]:= Limit[ x f[x], x -> 0 ]

Out[14]=

Summierung von ReihenResiduen