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Operationen auf Skalaren, Vektoren und MatrizenInversion von Matrizen

3.7.5 Multiplizieren von Vektoren und Matrizen

Unterschiedliche Arten der Vektor- und Matrixmultiplikation

Dies multipliziert jedes Element des Vektors mit dem Skalar k.

In[1]:= k {a, b, c}

Out[1]=

Der „Punkt"-Operator liefert das Skalarprodukt zweier Vektoren.

In[2]:= {a, b, c} . {ap, bp, cp}

Out[2]=

Sie können den Punkt auch zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor benutzen.

In[3]:= {{a, b}, {c, d}} . {x, y}

Out[3]=

Der Punkt ist in Mathematica auch die Notation für die Matrixmultiplikation.

In[4]:= {{a, b}, {c, d}} . {{1, 2}, {3, 4}}

Out[4]=

Beachten Sie, daß Sie „Punkt" sowohl für die Links- als auch für die Rechtsmultiplikation von Vektoren mit Matrizen benutzen können. Mathematica macht keinen Unterschied zwischen „Zeilen"- und „Spalten"-Vektoren. Punkt führt die Operation durch, die jeweils möglich ist. (Formal ausgedrückt, bringt a.b den letzten Index des Tensors a mit dem ersten von b zusammen (Überschiebung).)

Hier sind die Definitionen einer Matrix m und eines Vektors v.

In[5]:= m = {{a, b}, {c, d}} ; v = {x, y}

Out[5]=

Dies multipliziert den Vektor v von links mit der Matrix m. Das Objekt v wird in diesem Fall als Spaltenvektor behandelt.

In[6]:= m . v

Out[6]=

Sie können Punkt ebenso zur rechtsseitigen Multiplikation eines Vektors v mit einer Matrix m benutzen. Jetzt wird v als Zeilenvektor behandelt.

In[7]:= v . m

Out[7]=

Wenn Sie die Matrix m auf beiden Seiten mit dem Vektor v multiplizieren, erhalten Sie einen Skalar.

In[8]:= v . m . v

Out[8]=

Es gibt sicherlich auch Fälle, in denen man eine nur symbolische Darstellung von Vektoren und Matrizen ohne explizite Angabe ihrer Elemente benötigt. Mit Punkt läßt sich die Multiplikation derartiger symbolischer Objekte darstellen.

Punkt funktioniert hier im Grunde als eine nichtkommutative Form der Multiplikation.

In[9]:= a . b . a

Out[9]=

Es ist trotzdem assoziativ.

In[10]:= (a . b) . (a . b)

Out[10]=

Punktprodukte mit Summen werden nicht automatisch ausmultipliziert.

In[11]:= (a + b) . c . (d + e)

Out[11]=

In diesem Fall können Sie über die Funktion Distribute das Distributivgesetz anwenden (siehe Abschnitt 2.2.10).

In[12]:= Distribute[ % ]

Out[12]=

Der „Punkt"-Operator liefert die „inneren Produkte" von Vektoren, Matrizen usw. In komplizierteren Berechnungen müssen vielleicht äußere oder Kronecker-Produkte von Vektoren und Matrizen gebildet werden. Dazu können Sie die allgemeine Funktion Outer verwenden.

Das äußere Produkt zweier Vektoren ist eine Matrix.

In[13]:= Outer[Times, {a, b}, {c, d}]

Out[13]=

Das äußere Produkt einer Matrix und eines Vektors ist ein Tensor der Stufe drei.

In[14]:= Outer[Times, {{1, 2}, {3, 4}}, {x, y, z}]

Out[14]=

Äußere Produkte werden in Abschnitt 3.7.11 detaillierter beschrieben.

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