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Inversion von MatrizenLösen linearer Systeme

3.7.7 Matrix-Grundoperationen

Einige Grundoperationen für Matrizen

Die Transponierung einer Matrix vertauscht die Zeilen mit den Spalten. Wenn eine -Matrix transponiert wird, erhält man als Ergebnis eine -Matrix.

Die Transponierte einer -Matrix ist eine -Matrix.

In[1]:= Transpose[ {{a, b, c}, {ap, bp, cp}} ]

Out[1]=

Det[m] ergibt die Determinante einer quadratischen Matrix m. Minors[m] ist die Matrix, deren -tes Element die Determinante jener Untermatrix ergibt, die durch Entfernung der -ten Zeile und der -ten Spalte von m entsteht. Der -te Kofaktor von m ist mal dem -ten Element der Minoren-Matrix.

Minors[m, k] liefert die Determinanten der -Untermatrizen, die man durch Herausgreifen aller möglichen Sätze von Zeilen und Spalten von m erhält. Man kann Minors sowohl auf rechteckige als auch auf quadratische Matrizen anwenden.

Hier ist die Determinante einer einfachen -Matrix.

In[2]:= Det[ {{a, b}, {c, d}} ]

Out[2]=

Dies erzeugt eine -Matrix, deren -tes Element a[i, j] ist.

In[3]:= m = Array[a, {3, 3}]

Out[3]=

Hier ist die Determinante von m.

In[4]:= Det[ m ]

Out[4]=

Dies liefert die Matrix der Minoren von m.

In[5]:= Minors[m]

Out[5]=

Mit Det läßt sich das charakteristische Polynom einer Matrix bestimmen. Abschnitt 3.7.9 beschreibt Methoden, mit denen man Eigenwerte und Eigenvektoren direkt bestimmen kann.

Hier ist eine -Matrix.

In[6]:= m = Table[ 1/(i + j), {i, 3}, {j, 3} ]

Out[6]=

Dies liefert nach der mathematischen Definition genau das charakteristische Polynom für m.

In[7]:= Det[ m - x IdentityMatrix[3] ]

Out[7]=

Die Spur einer Matrix Tr[m] ist die Summe der Terme auf der Hauptdiagonalen.

So wird die Spur einer einfachen -Matrix ermittelt.

In[8]:= Tr[{{a, b}, {c, d}}]

Out[8]=

Potenzieren und Exponentialfunktion von Matrizen

Hier ist eine -Matrix.

In[9]:= m = {{0.4, 0.6}, {0.525, 0.475}}

Out[9]=

Dies ergibt die dritte Potenz der Matrix m.

In[10]:= MatrixPower[m, 3]

Out[10]=

Dies ist äquivalent zur Multiplikation dreier Kopien der Matrix.

In[11]:= m . m . m

Out[11]=

Hier ist die millionste Potenz der Matrix.

In[12]:= MatrixPower[m, 10^6]

Out[12]=

Dies ergibt die Exponentialfunktion der Matrix m.

In[13]:= MatrixExp[m]

Out[13]=

Hier ist eine Näherung für die Exponentialfunktion von m mittels einer Potenzreihe.

In[14]:= Sum[MatrixPower[m, i]/i!, {i, 0, 5}]

Out[14]=

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