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Lösen linearer SystemeFortgeschrittenes Thema: Zerlegungen von Matrizen

3.7.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Werte , für die man von Null verschiedene Vektoren bestimmen kann, so daß gilt. Die Eigenvektoren sind die Vektoren .

Die Bestimmung der Eigenwerte einer -Matrix erfordert im Prinzip das Lösen einer Polynom-Gleichung -ten Grades. Für können die Ergebnisse daher im allgemeinen nicht rein mittels expliziter Radikale ausgedrückt werden. Root-Objekte können trotzdem noch immer verwendet werden, obwohl, außer für recht schwach besetzte oder sonst einfache Matrizen, die erhaltenen Ausdrücke häufig unhandlich komplex sind.

Selbst für eine einfache Matrix wie diese ist die explizite Form der Eigenwerte recht kompliziert.

In[1]:= Eigenvalues[ {{a, b}, {-b, 2a}} ]

Out[1]=

Wenn Sie eine Matrix mit Gleitpunktzahlen angeben, wird Mathematica numerische Näherungswerte für die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Hier ist eine numerische -Matrix.

In[2]:= m = {{2.3, 4.5}, {6.7, -1.2}}

Out[2]=

Die Matrix hat zwei Eigenwerte, die in diesem Fall beide reell sind.

In[3]:= Eigenvalues[ m ]

Out[3]=

Hier sind die beiden Eigenvektoren von m.

In[4]:= Eigenvectors[ m ]

Out[4]=

Eigensystem berechnet gleichzeitig die Eigenwerte und Eigenvektoren. Die Zuweisung setzt werte gleich der Liste der Eigenwerte und vekt gleich der Liste der Eigenvektoren.

In[5]:= {werte, vekt} = Eigensystem[m]

Out[5]=

Dies verifiziert, daß der erste Eigenwert und Eigenvektor den Bedingungen genügt.

In[6]:= m . vekt[[1]] == werte[[1]] vekt[[1]]

Out[6]=

Dies bestimmt die Eigenwerte einer stochastischen Matrix. Für nicht-symmetrische Matrizen können die Eigenwerte Imaginärteile haben.

In[7]:= Eigenvalues[ Table[Random[ ], {4}, {4}] ]

Out[7]=

Die Funktion Eigenvalues liefert immer eine Liste von Eigenwerten für eine -Matrix. Die Eigenwerte entsprechen den Wurzeln des charakteristischen Polynoms der Matrix und sind nicht notwendigerweise verschieden. Anderseits liefert Eigenvectors eine Liste von Eigenvektoren, die garantiert unabhängig sind. Wenn die Anzahl solcher Eigenvektoren kleiner als ist, fügt Eigenvectors der zurückgegebenen Liste Nullvektoren hinzu, so daß die Gesamtlänge der Liste immer ist.

Hier ist eine -Matrix.

In[8]:= mz = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}

Out[8]=

Die Matrix hat drei Eigenwerte, die alle gleich Null sind.

In[9]:= Eigenvalues[mz]

Out[9]=

Es gibt jedoch nur einen unabhängigen Eigenvektor für die Matrix. Eigenvectors fügt zwei Nullvektoren hinzu, damit in diesem Fall drei Vektoren angegeben werden.

In[10]:= Eigenvectors[mz]

Out[10]=

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