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Näherungsfunktionen und InterpolationFaltungen und Korrelationen

3.8.3 Fouriertransformationen

Sehr häufig wird bei der Analyse verschiedener Arten von Daten die Fouriertransformierte oder das Spektrum einer Werteliste ermittelt. Dies geschieht in der Regel in der Absicht, aus den Daten Komponenten mit bestimmten Frequenzen oder Frequenzbereichen herauszuziehen.

Fouriertransformierte

Hier sind einige Daten, die zu einem Rechteckimpuls gehören.

In[1]:= {-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1}

Out[1]=

Hier ist die Fouriertransformierte der Daten. Sie enthält komplexe Zahlen.

In[2]:= Fourier[%]

Out[2]=

Hier ist die inverse Fouriertransformierte.

In[3]:= InverseFourier[%]

Out[3]=

Fourier funktioniert auch, wenn die Länge der Datenliste keine Potenz von zwei ist. Es ist jedoch bei weitem viel effizienter wenn die Länge eine Potenz von zwei ist.

In[4]:= Fourier[{1, -1, 1}]

Out[4]=

Dies erzeugt eine Liste der Länge 200, die ein periodisches Signal mit zugemischtem Rauschen enthält.

In[5]:= data = Table[ N[Sin[30 2 Pi n/200] + (Random[ ] - 1/2)],
{n, 200} ] ;

Die Daten sehen recht zufällig aus, wenn man sie direkt grafisch darstellt.

In[6]:= ListPlot[ data, PlotJoined -> True ]

Out[6]=

Die Fouriertransformierte zeigt jedoch eine sehr stark ausgeprägte Spitze bei und eine symmetrische Spitze bei . Dies reflektiert die Frequenz-Komponente des ursprünglichen Signals in der Nähe von .

In[7]:= ListPlot[ Abs[Fourier[data]], PlotJoined -> True,
PlotRange -> All ]

Out[7]=

In Mathematica ist in der Voreinstellung die diskrete Fouriertransformierte einer Liste der Länge definiert als . Zu beachten ist, daß der Null-Frequenz-Term an der Position 1 in der sich ergebenden Liste erscheint.

Die inverse diskrete Fouriertransformierte einer Liste der Länge ist in der Voreinstellung definiert als .

In den verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen werden häufig unterschiedliche Vereinbarungen zur Definition diskreter Fouriertransformierter verwendet. Die Option FourierParameters in Mathematica erlaubt, jede dieser Vereinbarungen zu wählen.

Typische Einstellungen von FourierParameters für diverse Vereinbarungen

Zweidimensionale Fouriertransformierte

Mathematica kann Fouriertransformierte für Daten mit einer beliebigen Anzahl an Dimensionen ermitteln. In Dimensionen werden die Daten durch eine Stufen tief verschachtelte Liste angegeben. Zweidimensionale Fouriertransformierte werden häufig bei der Bildverarbeitung eingesetzt.

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