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Numerische IntegrationNumerische Lösung von Polynomgleichungen

3.9.4 Numerische Evaluierung von Summen und Produkten

Numerische Summen und Produkte

Dies ergibt eine numerische Approximation für .

In[1]:= NSum[1/(i^3 + i!), {i, 1, Infinity}]

Out[1]=

Es gibt kein exaktes Ergebnis für diese Summe, deshalb beläßt Mathematica es in einer symbolischen Form.

In[2]:= Sum[1/(i^3 + i!), {i, 1, Infinity}]

Out[2]=

Man kann N explizit anwenden, um ein numerisches Ergebnis zu erhalten.

In[3]:= N[%]

Out[3]=

NSum funktioniert folgendermaßen: Es erfaßt eine gewisse Anzahl Terme explizit und versucht dann, den Beitrag der verbleibenden Terme abzuschätzen. Es gibt zwei Ansätze zum Schätzen dieses Beitrags. Der erste verwendet die Euler-Maclaurin-Methode und basiert auf der Approximation der Summe durch ein Integral. Bei der zweiten Methode, die als Wynn-Epsilon-Methode bekannt ist, werden eine Anzahl zusätzlicher Terme der Summe berechnet und dann wird versucht, diese durch ein Polynom multipliziert mit einer exponentiell abklingenden Funktion anzupassen.

Optionen für NSum

Wenn Sie die zu verwendende Methode nicht explizit spezifizieren, wird NSum versuchen, eine der bekannten auszuwählen. In jedem Fall müssen gewisse implizite Annahmen über die Funktionen, die Sie summieren, gemacht werden. Sind diese Annahmen nicht korrekt, so können Sie ungenaue Antworten erhalten.

Zumeist wird NSum bei der Evaluierung von unendlichen Reihen eingesetzt. Sie können es jedoch auch für endliche Summen verwenden. Durch implizite Annahmen über die Objekte, die Sie evaluieren, kann NSum häufig vermeiden, so viele Funktions-Evaluierungen vorzunehmen, wie eine explizite Sum-Berechnung erfordern würde.

Dies ermittelt den numerischen Wert

von mit Extrapolations-

techniken.

In[4]:= NSum[Exp[-n], {n, 0, 100}]

Out[4]=

Sie können das Ergebnis auch erhalten, wenn auch weniger effizient, indem Sie die symbolische Form der Summe konstruieren und diese dann numerisch evaluieren.

In[5]:= Sum[Exp[-n], {n, 0, 100}] //N

Out[5]=

NProduct funktioniert im Grunde genauso wie NSum, mit analogen Optionen.

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