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3.4.3 高级专题:代数数

代数数的表示

当输入一个根对象时,其中的多项式自动被化简

这里提取出代表多项式的纯函数并用于 x

根对象是 Mathematica 表示代数数的方式. 代数数有这样的性质: 当对它们进行代数运算时,总是得到单个代数数.

这里是一个代数数的平方根

RootReduce 将它化简为单个根对象

这里是一个包含代数数的更复杂的表达式

它还是能被化简成单个根对象,尽管是相当复杂的

代数数的运算

在这种简单情形下,根对象自动表示为根式

当包含三次多项式时,根对象不能自动表示为根式

ToRadicals 尝试用根式表示所有的根对象

如果 SolveToRadicals 不能成功地用根式表示某多项式方程的解,那么 可以猜测它本质上是做不到的. 但应当认识到,有些特殊情形, 化为根式在原理上是可能的,但 Mathematica 找不到它. 最简单的例子是方程  , 但这里用根式表示的解是非常复杂的. 方程  是另一个例子,此时  是一个解.

这里给出一个包含 6 次多项式的根对象

尽管存在单个的根式形式但 ToRadicals 找不到它

4 次以上的大多数多项式没有能用根式表示的根. 然而,5 次时, 根总能用椭圆或超几何函数表示. 但是结果太复杂,实际上是没有用的.

根的和

计算 的根的 倒数的和

此式没有用根式表示的显式结果

这里将 RootSum 展开成为包含根对象的显式和