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3.2.10 特殊函数

Mathematica 包括了标准手册中具有所有的常见的数学物理的特殊函数. 下面将依次讨论各类函数中的每一个函数.
应当意识到,在技术文献中对某个特殊函数常常有矛盾的定义. 用户一定要 阅读这里给出的定义. 确认它正是你想要的东西.

对特殊函数的某些值,Mathematica 给出精确结果

此时不知道精确结果

然而,能够求出可具有任意精度的数值结果

对特殊函数可给以复自变量

特殊函数自动应用于列表中的每个元素

Mathematica 知道特殊函数的解析性质,例如导函数

可以使用 FindRoot 求特殊函数的根

Mathematica 中,特殊函数通常能对自变量的任意复值进行计算. 然而, 下面给出的定义关系. 仅适用于自变量的特殊选择.在这些情况下,整个 函数相应于这些定义关系的 "解析延拓" . 例如,函数的积分表示仅当 积分存在时才有效,但函数本身通常能通过解析延拓来定义.
 然而,容易分析地说明对任意 x, 整个函数等于1/(1-x). 整个函数等于1/(1-x). 使用这个形式,可以容易地求出函数对任意 x 的值,只要 x≠1. (译者注:这个说法是错误的)

伽马函数及相关函数

伽马函数及相关函数

欧拉伽马函数 Gamma[ 可以被看作阶乘函数的一般化, 它对复自变量也有效.
在一些运算中,特别是数论中,伽马函数的对数经常出现. 对正实自变量, 可以简单地用 Log[Gamma[z]] 进行计算. 然而,对复自变量,该式产生 伪不连续性. 因此 Mathematica 另外给出函数 LogGamma[z], 它产生具有沿负实轴的单个分支线的伽马函数的对数.
欧拉贝塔函数 Beta[ .
Pochhammer
符号或上升阶乘 Pochhammer[a, n] 它常常出现在超几何函数的级数展开式中. 注意即使当其定义中出现的 伽马函数为无穷大时,Pochhammer 符号也有确定的值.
不完全伽马函数 Gamma[a, z]  定义. Mathematica 包含有一般化的不完全伽马函数  . 另一个不完全伽马函数  可以作为 Gamma[a, 0, z] 被得到.
 注意在不完全贝塔函数中,参数 z 是积分的上限,它作为函数的第一个自变量 出现. 而在不完全伽马函数中,z 是积分的下限, 它作为函数的第二个自变量出现. 在某些情况下,计算不完全贝塔和伽马函数本身是不方便的,而代之以计算正则 化形式,在这个形式中,用完全贝塔和伽马函数除这些函数. Mathematica 包含正则化的完全贝塔函数,其定义为  , 且考虑奇点情况. Mathematica 还包含正则化的不完全伽马函数,其定义为  ,且奇点情况被考虑. 不完全贝塔和伽马函数以及它们的反函数在统计学中是常见的. 反贝塔函数是方程 s=I(z,a,b) z 的解. 反伽马函数类似地是 s=Q(a,z)z 的解.
伽马函数的导数出现在有理级数的求和当中. digamma 函数  给出. 对整数自变量,digamma 函数满足关系  是调和数. 多伽马函数 PolyGamma[ 给出. digamma 函数对应  .  .

伽马函数和多伽马函数的许多精确结果被建立在 Mathematica

这里是一个复平面上的伽马函数的等高线图

Zeta 函数和相关函数

Zeta 函数和相关函数

黎曼 Zeta 函数 Zeta[ 定义. 具有整数自变量的 Zeta 函数出现在各种求和与积分的运算中. 对具有整数自变量的ꛆ函数,当可能时,Mathematica 给出精确结果.  ,有一个解析延拓. 复自变量的 Zeta 函数是数论中素数分布 的研究核心. 其特别重要的是临界线   处的值.
在研究 为实数) 定义两个解析黎曼-西格尔函数 RiemannSiegelZ[t]RiemannSiegelTheta[z] 常常是方便的. 注意黎曼-西格尔函数当 为实值时,都取实值.斯蒂尔吉斯常数StieltjesGamma[n] .
广义黎曼 Zeta 函数或霍尔威茨 Zeta 函数 Zeta[s, a] 项被排除.

Mathematica 给出  的精确结果

这里是复平面上的黎曼 Zeta 函数的三维图形

是黎曼 Zeta 函数在临界线  处的绝对值的图 形.可以看到 Zeta 函数的前几个零点

多对数函数  给出,多对数函数有时称为 Jonquière 函数.  有时称为 Spence 积分.尼尔森广义多对数函数或超对数  给出. 多对数函数出现在基本粒子以及代数 理论的 Feynman 图表积分中.
Lerch 超越函数 LerchPhi[z, s, a]Zeta 和多对数函数的推广. 它由  的项被排除. 许多倒数幂的和式能用 Lerch 超越来表示. 例如 Catlan 贝塔函数 来得到.
Lerch 超越函数与统计力学中的费米 - 狄拉克分布的积分相联系,其关系为:  .
Lerch 超越也能用来计算数论中的狄里克雷 L- 级数. 基本的 L- 级数的形式为  级数可以写为 Lerch 函数的和. LerchPhi[z, s, a, DoublyInfinite->True] 给出双边无穷和  .

指数积分和相关函数

指数积分和相关函数

Mathematica 有两种指数积分: ExpIntegralEExpIntegralEi.
指数积分函数 ExpIntegralE[n, z] 定义.
第二个指数积分函数 ExpIntegralEi[ 定义,其中取积分的主值.
对数积分函数 LogIntegral[z]
 在数论的某些应用中,   且不取主 值. 这与 Mathematica 中的常数  使用的定义不一样.
正弦和余弦积分函数 SinIntegral[z]CosIntegral[z]  定义. 双曲正弦和双曲余弦积分SinhIntegral[z]CoshIntegral[z]   定义.

误差函数和相关函数

误差函数和相关函数

误差函数 Erf[z] 是高斯分布的积分,由  给出.
互补误差函数 Erfc[z] 简单地由 erfc(z)=1-erf(z) 给出.
虚数误差函数 Erfi[z] 由 erfi(z)=erf(iz)/i 给出.
广义误差函数 Erf[ ,  ] 定义. 误差函数在统计学中是重要的.
反误差函数 InverseErf[s]  的解. 反误差函数出现在统计学中的置信区间的计算以及生成高斯 随机数的一些算法中.
与误差函数紧密联系的是两个 Fresnel 积分:由 定义的 FresnelC[z] 定义的 FresnelS[z] 积分. 它们出现在衍射理论中.

贝塞尔函数和相关函数

贝塞尔函数和相关函数

贝塞尔函数 BesselJ[ ] 和 BesselY[ ] 是微分方程  的两个线性独立解.
对整数 n,   是正则的, 而   . 贝塞尔函数 出现在柱面对称\
系统的微分方程的求解当中.
 常常称为第一类贝塞尔函数,\或简称贝塞尔函数.  第二类贝塞尔函数,威伯函数或纽曼函数  .
汉克尔函数(或第三类贝塞尔\函数)  给出贝塞尔微分方程解的另一种形式.
在研究球对称系统中,出现了球贝塞尔函数,它由  定义, 其中 f 和 F 可以是 jJ, y 和 Y,   . 对于整数,Mathematica 给出球贝塞尔函数的精确代数式.
修正贝塞尔函数 BesselI[n, z]BesselK[n, z]  . 对于整数 n,  z=0 是正则的,而  z=0 是对数发散的.  .
 来定义开尔文函数.
Airy 函数 AiryAi[z] AiryBi[z] 是微分方程  的两个独立解 Ai(z) 和 Bi(z). 当z趋于正无穷大时,Ai(z) 趋于 0, Bi(z) 无限增大. 在许多情况下,也出现 Airy 函数的导数 AiryAiPrime[z]] 和 AiryBiPrime[z].
Struve 函数 StruveH[n, z] 出现在对整数 n 的非齐次贝塞尔方程  的解中. 这个方程的一般解由带有 Struve 函数 的贝塞尔函数的线性组合构成. 修正 Struve 函数 StruveL[n, z]  给出. Struve 函数出现在电磁理论中.

这是  的图形. 这是一 端悬挂的理想化的链条被摆动时形成的曲线

对半整数阶的 Bessel 函数,Mathematica 生成明确的公式

这里画出的 Airy 函数的图形给出一个粒子当势能线性增大的量子力学振幅.该振幅在经典的不能进入区域 ( 图形右部 ) 指数地衰减

勒让德函数和相关函数

勒让德函数和相关函数

勒让德函数和相关函数满足微分方程 . 第一类勒让德函数, LegendreP[n, z]LegendreP[n, m, z] 为整数时, 化为勒让德多项式. 第二类勒让德函数,LegendreQ[n, z] 和 LegendreP[n,m,z],给出微分方程的第二个线性无关解. 对于整数 m,它们在 z=±1 处有对数奇异性.   给出 m=0 时微分方程的解.
勒让德函数出现在量子力学散射过程的研究中.

勒让德函数的类型

LegendreQ 存在类似的类型.
第一型勒让德函数仅当 z 在复平面的单位圆内有定义. 第二型勒让德函数在单位圆内与第一型有相同的数值值,但在圆外也有定义.第二型函数有从 -Infinity 到 -1 和 +1 到 Infinity 的分支线. 第三型勒让德函数,有时记为   ,有从 -Infinity 到 +1 的单一分支线.
环形函数或环函数,它出现在具有环形对称的系统研究中,能够用勒让德函数   来表达.
圆锥函数能够用   来表达.
当使用 为整数的函数 LegendreP[n, x] 为任意复数时,一般得到勒让德函数.
用同样的方法,在 GegenbauerC 等等的函数中,指标变量取任意复数就能得到 盖根堡函数, 切比雪夫函数, 埃尔米特函数, 雅可比函数和拉盖尔函数. 然而与相关勒 让德函数不同,在这些函数中,不需要区分不同类型.

合流超几何函数

合流超几何函数

到目前为止,我们所讨论的特殊函数,多数能被看作合流超几何函数 Hypergeometric1F1[a, b, z] 的特殊形.
合流超几何函数能从级数展 开式  中获得.
a b 都是整数时,一些特殊结果被获得. 当 a<0, 并且 b> 0 或 b<a 时,该级数产生一个有限项的多项式.
b 为零或负整数时, 本身是无穷大. 但正则化的合流超几何函数 Hypergeometric1F1Regularized[a, b, z],由  给出,在所有情况下有有限值.
能从  中 获得的函数有:贝塞尔函数,误差函数,不完全伽马函数以 及埃尔米特和拉盖尔多项式.
  有时记作  或 M(a;b;z), 它常称为库默尔函数.
 函数能写为积分表达式   ,  函数是库默尔微分方程  ,
带有边界条件  ,  的解.
函数 HypergeometricU[a, b, z] 给出库默尔方程的第二个线性无关解. 对于 Re b>1 该函数的行为在 z 较小时很像  . 它有一条沿复平面的负实轴的分支线.
函数 U(a,b,z) 有积分表示   一样,U(a,b,z) 有时称为库默尔函数,  .
惠特克函数给出库默尔微分方程的另一形式的解. 惠特克函数   的关系为: . 第二个惠特克函数  U 服从同样的关系.
抛物柱面函数与惠特克函数之间有关系:   . 对于整数 Nu, 抛物柱面函数化为埃尔米特多项式.
Coulomb 波函数也是合流几何函数的特殊情形. Coulomb 波函数给出点核的 Coulomb 势中的径向 Schrödinger 方程的解. 正则 Coulomb 波函数的定义 是  , 其中  .
合流超几何函数的其它特殊情形包括 Toronto 函数 T(m,n,r) , Poisson-Charlier 多项式  , Cunningham 函数  Bateman 函数  .
合流超几何函数,它经常出现的极限形式是 Hypergeometric0F1[a, z], 该函数是由极限  得到的.
 函数有级数展式  , 并且满足微分方程  . 第一类贝塞尔函数可以用  函数来表示.

超几何函数及其推广

超几何函数及其推广

超几何函数 Hypergeometric2F1[a, b, c, z] 有级数展式  . 它是超几何微分方程
 的解.
超几何函数也能写成一个积分:   .
超几何函数有时也记为 F,并称为高斯级数或库默尔级数 .
 .
推广的超几何函数或 Barnes 扩充超几何函数 PFQ[  , ... ,   ,   , ... ,   , z] 可展成级数   .
梅杰 G 函数 MeijerG[   ,...,  ,   ,...,   ,    ,...,  ,   ,...,   , z] 由围道积分表示式
  定义,其中积分的围道被安  的极点和  的极点之间. 梅杰G是一个非常一般的函数,它的特殊情形包括了 前几节讨论的大多数函数.
阿贝尔双变量超几何函数 AppellF1[a,  ,  , c, x, y] 有级数展式  . 该函数出现在三次多项式的任意次幂的积分中.

乘积对数函数

乘积对数函数