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乘积对数函数给出  关于 w 的解. 该函数可看作是对数函数的推广. 它能用于表示各种超越方程的解. 计算不同的定向树的树生成函数 T(z ) 与乘积对数函数有一个关系T ( z ) =-W ( -z ).

3.2.11 椭圆积分和椭圆函数

和其它函数相比,在给出椭圆积分和椭圆函数的自变量时更需要小心 谨慎.在常见的用法中有几个不相容的规定,这些规定仅通过赋给变量的特定 名称或自变量间的分离符 ( 而不是逗号 ) 来区分.

常见椭圆积分和椭圆函数的变量规定

不同变量间转换规则

椭圆积分

椭圆积分

形 如   的二次或三次多项式的积分 称为椭圆积分. 任意椭圆积分可以用勒让德-雅可比椭圆积分的三类标准形来 表示.
第一类椭圆积分 EllipticF[ , m]  =  ,  给出.
椭圆积分出现在求解单摆运动的方程中. 它有时称为第一类 不完全椭圆积分.
注意,椭圆积分的自变量有时以与 Mathematica 中使用的相反顺序给出.
第一类完全椭圆积分 EllipticK[m]  用来表示 不完全的形式. 在许多应用中,参数 给出 "实" 和 "虚" 的相应于下面讨论的雅可比函数的四分之一周期.
第二类椭圆积分 EllipticE[ , m] 给出.
第二类完全椭圆积分  .
雅可比ꛆ函数 JacobiZeta[ , m]  给出.
Heuman  给出.
第三类椭圆积分 EllipticPi[n,  , m]  给出.
第三类完全椭圆积分  给出.

这是第二类完全椭圆积分 的图形

这里是  的值

椭圆积分在复平面上有一个复杂的结构

椭圆函数

椭圆函数和相关函数

二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此,三角函数能 被定义为从这些积分获得的函数的反函数.
类似地,椭圆函数被定义为从椭圆积分获得的函数的反函数.
雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitude[u, m] 是第一类椭圆积分的反函数, 如果  ,那么  .  .
.雅可比椭圆函数 JacobiSN[u, m], JacobiCN[u, m] .
此外 JacobiDN[u, m]  给出.
总共有 12 个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u, m]  中选取. 每个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u, m]  .
雅可比椭圆函数之间有许多关系,在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上,在极限情形,雅可比椭圆函数化为三角函数.
例如  ,  ,  ,  ,  ,  .
符号  常用于积分  . 这些积分能用上面定义的雅可比 Zeta 函数来表示.

这里显示了雅可比椭圆函数数  的绝对值在每个方向上的两个完全周

Mathematica 还建立了反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v, m],InverseJacobiCN[v, m] 等. 反函数 关于 u 的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.

EllipticTheta[a, u, q]中分别取 a 为 1,2,3,4 得到四个  函数. 其定义为  , , , .  函数的参数 q 常常不明显写出,而写为  . 有时也写为  ,其中 m q 有关系  . 另外 q 有时用  代替, q 的关系为  . 所有 Theta 函数满足扩散类微分方程  . 雅可比椭圆函数可以表示为 PartialD 函数的比.
PartialD 函数的另一种记号是  , , , ,其中  .

Neville PartialD 函数可以由 PartialD 函数来定义:   , , , ,其中  . 雅可比椭圆函数可以被表示为 Neville PartialD 函数的比.

外尔斯特拉斯椭圆函数 WeierstrassPrime[u,   ,   ] 可以认为是椭圆积分的反函数. 外尔斯特拉斯函数  给出  关于 x 的解. 函数 WeierstrassPPrime[u,   ,   ] 给出.

外尔斯特拉斯椭圆函数的导数有时根据其基本半周期   来表示,  可以通过使用 WeierstrassHalfPrime[u,   ,   ]从不变量   中获得.

函数 InverseWeierstrassP[p,   ,   ]给出  关于 u 的两个解中的一个. 该值总是位于由半周期   定义的平行四边形之内.

InverseWeierstrassP[ p, q ,   ,   ]给出   的唯一解 u. 要使这样的u值存在, pq 必须满足  .

外尔斯特拉斯  函数 WeierstrassZeta[u,   ,   ] 和外尔斯特拉斯  函数 WeierstrassSigma[u,   ,   ]与外尔斯特拉斯椭圆函数的关系是  , .

外尔斯特拉斯   函数不是严格的椭圆函数,因为它们不是周期的.

椭圆模函数

椭圆模函数

 函数 ModularLambda[ ] 相联系.
克莱因不变模函数 KleinInvariantJ[ ] 与戴德金 函数 DedekindEta[ ]  .
模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如,  的组合下 的不变量.

广义椭圆积分和函数

广义椭圆积分和函数

上面给定的椭圆积分和函数是传统的做法. 在现代的代数几何中,使用更一般 的定义是方便的.
函数 EllipticLog[ x, y ,  a, b ] 被定义为积分  值,其中平方根的正负号通过给出 y 的值,如
的积分可以用普通的对数 ( 和反三角函数 ) 来表示. 可以认为 EllipticLog 给出该积分的推广,此时, 平方根下的多项式是三次的.
函数 EllipticExp[u,  a, b ]EllipticLog 的反函数. 它给出 EllipticLog 中的列表 . EllipticExp 是一个椭圆函数,它在关于 的复平面上是双周期的.
ArithmeticGeometricMean[a, b] 给出两个数 的算术ꪲ几何平均值 (AGM). 该量是计算椭圆积分的许多数值算法的核心. 对于正实数  ,其 AGM 按下方法获得.

 开始,然后重复变换   , 直到 an=bn 达到要求的精度为止.