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3.2.13 带有特殊函数的运算

特殊函数的一些常见运算

当给出特定的自变量时,大多数特殊函数有较简单的形式. Mathematica 将自动地化简特殊函数.

Mathematica 自动用标准数学常数写出此式

Mathematica 把特殊情况下的 Airy 函数化简为包含伽马函数的表达式

对大多数自变量的值. 特殊函数可能不能精确地化简. 但在这些情况下, Mathematica 允许求任意精度的数值近似. 建立在 Mathematica 内部的算法 基本上覆盖了特殊函数的所有的参数值--实值或复值.

此式没有精确结果

这里给出 40 位精度的数值近似

此结果是个巨大的复数,但 Mathematica 仍能求出它

In[5]:=
Out[5]=

大多数特殊函数有能用基本函数或其它特殊函数表示的导数. 但即使对 导数不能明显表示的情况,也能使用N 求出导数的数值近似值.

这个导数的结果是基本函数

这里计算伽马函数在 3 处的导数

Zeta 函数的这个导数没有精确公式

使用 N 给出数值近似值

Mathematica 收集了大量的特殊函数的知识--基本包括多年来已经导出的 所有结果. 当用户对特殊函数进行运算时,将需要这些知识.

这里是 Fresnel 函数的级数展式

Mathematica 知道如何计算涉及特殊函数的大范围的积分

带有特殊函数的运算的一个特点是在不同的函数之间存在大量的关系, 这些关系常常能用来化简表达式.

化简涉及特殊函数的表达式

这里使用伽马函数的反演公式

这里利用切比雪夫多项式的表达式

Airy 函数与贝塞尔函数有关系

处理涉及特殊函数的表达式

展开 PolyGamma 产生一个具有较简单的自变量函数

这里是一个涉及贝塞尔函数的例子

此情形,最终结果甚至不涉及 PolyGamma

这里求 Zeta 函数在 0 处的二阶导数