3.2.4 整数和数论中的函数一些整数函数 17 除以 3 的余数
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17/3 的整数部分
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Mod 也可用于实数
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由 Mod 得到的结果，其符号与第二个自变量的符号相同
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对任何整数   . 带偏心距的整数余数 特别当使用 Mod 来获得部分对象的索引时，指定一个偏心距常常是方便的. 在对列表循环处理下，提取列表的第 18 个元素
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最大公约数函数 GCD[ ,  , ... ]  的最大整数. 当输入 两个整数的比时，Mathematica 使用 GCD 约去公因式，并给出最简有理数.
最小公倍数函数  的所有因子的 最小整数. 整除 24 和 15 的最大整数是 3
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Kronecker Delta 或 Kronecker 符号 KroneckerDelta[ ,  , ... ]  全相等等于 1，否则等于 0.  . 这里给出一个秩为 3 的全对称张量
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整数因子分解和相关函数 给出 24 的所有因子为  ， . 每个子列表的第一个元素是因子，第二个元素是其指数
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这是一个较大的整数的因子
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应当认识到，按照现代数学的观点，整数因子分解是本质上困难的计算问题. 因此，用户能容易地输入一个整数，而 Mathematica 对其分解因子可能要花 费天文数字长度的时间. 只要用户给出的整数位数小于 25，FactorInteger 将不会有任何困难. 然而，在一些特殊情况下，它能处理长的多的整数. (用户可以通过设置选项 FactorInteger->False 使某些因子分解问 题进行的更快， 这样 FactorInteger[n]  中分出简单的因子)这是一个相当特殊的长整数
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Mathematica 能容易地分解这个特殊整数
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尽管 Mathematica 可能分解不了大整数，但它常常能检测该整数是否 为素数. 此外，Mathematica 有一个寻找第 个素数的快速方法. 检测一个数是否是素数常常比分解它的因子快得多
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这是前 100 个素数的图形
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这是第一百万个素数
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在数论中，知道素数的分布比知道它们的值常常更重要. 函数 PrimePi[x]  的素数个数. 给出小于10亿的素数个数
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缺省时，FactorInteger 只允许实整数，但通过设置选项 GaussianInteger->True， 它也能处理高斯整数实部和虚部均为整数的复数. 正如它能 唯一地分解出实素数一样. 它也能唯一地分解出高斯素数.然而，在高斯 素数的选择中有一些潜在的二义性. 在 Mathematica 中，除了初始的 -1 和  此外，因子总是被选为正实部和非负虚部. 在高斯整数上，2 能分解为 
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这里是一个高斯整数的所有因子
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数论中的一些函数 模幂函数 PowerMod[a, b, n] 给出与 Mod[a^b, n]  时的相同的结果. 但是 PowerMod 更有效，因为它避免生成  的完全形式.
使用 PowerMod[a, b, n]  ， PowerMod[a, b, n]  mod  (当这样的整数存在时，它是唯一的). 如果不存在这样的整数 ，Mathematica 就使 PowerMod 不再计算. PowerMod 等价于先使用 Power，再使用 Mod，但更有效率
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这给出 3 模 7 的模逆
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3 乘以该逆模 7 得 1
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当欧拉 totient 函数  (n) 给出小于 n 且与 n 互素的正整数的个数. 一个重要的关系(费马小定理)是对与 n 互素的所有 a 有  (mod n).
莫比乌斯函数  (n) 被定义为: 当 n 为 k 个不同素数的积时，(n)= ，当 n=1 时 (n)=1, 当 n 包含素数的平方时 (n)=0. 一个重要的关系是莫比乌斯逆公式，即如果 对所有 n 成立，那么 ，其中  是对所有整除 n 的正整 d 求积.
除数函数  是 n 的所有约数的 k 次幂的和.  给出 n 的约数的总数，并常常表示为  .  等于 n 的所有约数的和，常常表示为  (n). 对素数 n， 
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像费马小定理保证的那样，结果为 1
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这里给出 24 的所有约数的列表
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 给出 24 的不同的约数的总数
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雅可比符号 JacobiSymbol[n, m] 当 m 为奇数时归结为勒让德符号  ，勒让德符号是：当 n 被 m 整除时其值为零，否则，当 n 是二次余数 (模素数 m) 其值为 1，若不然其值为 -1. 一个与 m 互素的整数 n 称为二次余数 (模 m) 是指存在一个整数 k 使得  (mod m). 完全雅可比符号是关于m 的所有素因 
 的连乘.
扩展 gcd ExtendedGCD[m,n]给出一个列表{g,{r,s}},其中g是 m 和 n 的 最大公约数，r，s 是满足  的整数.扩展 gcd 在求线性丢番图方程的 整数解中是重要的.
列表中的第一个数是 105 和 196 的最大公约数
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第二个数对满足  .
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多重阶函数 MultiplicativeOrder[k, n]  (mod   偶尔被使用.
广义多重阶函数   (mod  成立的最小整数. MultiplicativeOrder[k, n,  -1, 1 ] 有时称作k模 n 的次阶函数记为  .
卡米切尔函数或最小通用  (mod .
 被使用在几种现代算术 中.   ,  有许多可能的 "基向量"  LatticeReduce 所做的事情是找出 对于该格的具有某种特殊性质的化简的基向量 沿着三个坐标轴的三个单位向量已经构成简化的基
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这里给出由三个向量指定的四维空间中的一个格的化基
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注意在上一个例子中，LatticeReduce 用更正交的向量代替几乎平行的向量. 在这个过程中，求出相当短的基向量. 连续分式 这里生成  的连续分式表示的前 10 项
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重构由连续分式项的列表代表的数
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结果接近
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连续分式出现在许多数论的设置中，有理数有最终连续的分式表示. 二次的无理数有重复的连续分式表示. 数的完全表示  的连续分式表示从第八项开始，然后涉及永远重复的项的序列
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这里从其连续分式表示中重构 
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这里显示 3/7 的十进制位的循环序列
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重构原来的数
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位计数函数 这里是 77 在二进制表示下的各个位
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这个直接计算在二进制表示下 1 的个数
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位计数函数图形是自相似 的
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位运算 位运算作用于表示为二进制的整数. BitAnd[ ,  ,...] 产生一个整数 其二进制表示的某一位为 1 当且仅当所有的 ni在该位为 1. BitOr[ ,  ,...] 产生一个整数其二进制表示的某一位为1，只要某个 ni 在该位为 1. BitXor[ ,  ] 产生一个整数其二进制表示的 某一位为 1，当且仅当 n1，n2中仅有一个在该位为1. BitXor[ ,  ,...] 的二进制表示的某一位为 1，当且仅当 ni 中有奇数个在该位为 1. 这里求以二进制输入的 23 和 29 的位与 Out[39]//BaseForm=
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位运算使用在各种组合算术中 . 它们也常常用于低级计算机语言中操纵位域. 然而，在这些语言中，整数有受限制的位数，典型的是 8的倍数. 在 Mathematica 中的位运算实际上允许整数有不受限制的序列. 这使得 BitNot［n］简单地等于 .
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