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3.2.9 正交多项式

正交多项式

勒让德多项式 LegendreP[n, x] 出现在三维球系统的研究中. 它满足微分方程  ,和正交性关系: 当 m≠n


相关勒让德多项式 LegendreP[n, m, x] 从勒让德多项式的导函数中得出:  . 注意对奇数   包含 ,因此不是严格 的多项式.当 m 时,  退化到  .

球面调和函数 SphericalHarmonicY[l, m,  ,  ] 与相关勒让德多项式联系在一起.
它们满足正交关系:当   ,其中  代表单位球上的曲面积分.

这里给出勒让德多项式  的代数形式

根据勒让德多项式的正交性,积分性, 的结果为零

对单个勒让德多项式的平方积分得到非零结果

高次勒让德多项式快速地 振荡

相关勒让德 "多项式" 包含

3.2.10节讨论勒让德多项式的推广ꆪ勒让德函数,它可能有非整数的阶次

盖根堡多项式 GegenbauerC[n, m, x]  维球对称系统的 勒让德多项式的推广. 它们有时称为特种球多项式.
GegenbauerC[n, 0, x] 总是等于零. GegenbauerC[n, x] .
切比雪夫多项式级数常常用于函数的数值逼近. 第一类切比雪夫多项式 ChebyshevT[n,x] 定义. 它们被规范化为 . 它们满足正交关系: 当 m≠n 时, .  是满足相应于  的根的 x 的离散点处的和式关系. 第二类切比雪夫多项式 ChebyshevU[n, z] 由  定义. 在此定义下, ,  满足正交关系: 当  时 , .
名称 "切比雪夫" 是西里尔字母的音译;几种其它拼法有时被使用.

埃尔米特多项式 HermiteH[n, x] 作为谐振荡器的量子力学波出现. 它们满足微分方程  和正交关系:当 m≠n时, . 有时使用的埃尔米特多项式的一种变种是  (个不同的规范化的  有时也被使用). 埃尔米特多项式被联系到抛物柱面函数或 Weber 函数 ,其关系是  .

.这里给出量子力学谐振荡器激励状态的密度. 摆动的平均值的约等于古典物理中的结果

广义拉盖尔多项式 LaguerreL[n, a, x] 被联系到量子力学中的氢原子波函数. 它们满足微分方程  , 和正交关系  时, . 拉盖尔多项式 LaguerreL[n, x] 对应于  的情形.
雅可比多项式 JacobiP[n, a, b, x] 出现在循环群的研究、特别是在量子 力学中.它们满足正交关系:当   . 勒让德、盖根堡和切比雪夫多项式都能看作雅可比多项式的特殊情况. 雅可比多项式有时用另一种形式  给出.

可以得到带有任意 a 值的广义拉盖尔多项式