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Mathematica 5を象徴するエッシャースタイルの双極12面体の作成

Michael Trott

Copyright Michael Trott 2003

手順の概要

ステップ1

原点を中心とする正12面体を作成する．

ステップ2

12面体の各面を直角三角形に分割する（M. C. Escherの「Quadratlimit」に類似）．さらにその各々を縮小し，互いの間に隙間が生じるようにする．

ステップ3

各三角形をさらに分割し，次のステップで表面が変換されたときに，結果の面が比較的滑らかになるようにする．

ステップ4

すべての三角形の輪郭が作成される．

ステップ5

各三角形に放射変換を施す．各三角形を，それより原点側にあるやや小さい三角形に繋げることで，奥行を持たせる．

ステップ1：正12面体

プラトン(Platonic)の立体を描画するプリミティブを含んでいる標準パッケージをロードする．

正12面体を表示する．

ステップ2：三角形への分割

関数SolidToTrianglesはプラトンの立体の各面を直角三角形に分割する．

12面体に適用する．結果は次のようになる．

ステップ3：三角形の分割

以下はエッシャースタイルで三角形を分割するための三角形のリストである．

関数MapTo3DTriangleはこの三角形分割を上記の12面体の三角形分割のすべての三角形にマップする．

ステップ4：三角形の辺の作成

関数TriangleBordersはすべての三角形の輪郭を作成する．

ステップ5：放射変換と厚み

次に放射変換を行う関数を作成する．

関数contractのプロット．

contractをに適用すると，次のような双極12面体ができる．

関数Hyperbolicizeはの三角形の輪郭をとり，関数contractを適用する．さらに，をやや小さくしたものでも同様に行い，結果として得られた2つの双極12面体の辺を繋ぐ．

次の式で，最終的なカバー画像が出来上がる．の三角形の辺には厚みがあり，収縮している．

応用

上記実装は他のプラトン立体，放射変換，カラースキームでも使用できる．次は立方体（六面体）に適用する．