Mathematica を使ったスパイログラフ

簡単なスパイログラフ

1つの車輪が別の車輪の周りを回っていて，その車輪がまた別の車輪の周りを回っていて...ということを想像してみる．最も外側の車輪の縁の1点が，平面上に面白いカーブを描く．

番目の車輪の半径と角周波数をそれぞれ, とする．点は複素平面のの位置になる．関数Spirographは点の軌跡を描画する．

以下に3つ例を挙げる．

スパイログラフの着色

点が時間の関数としてどのように移動して行ったかを見るために，スパイログラフの継続した線要素に色を付ける．関数ColorLineはcurve を着色するもので，赤から始まり黄，緑，青，黒と変化しまた赤に戻る．オブジェクトcurveは関数Spirographの出力から抽出され，Mathematica 式のように操作される．

上のセクションで描画した2つ目のスパイログラフの着色である．

次は，ランダムに生成された色付きスパイログラフのコレクションである．

スパイログラフ構造のアニメーション化

関数SpirographAnimationは，円および最も外側の円上のある点の軌跡を示すアニメーションを生成する．

これは，最初のスパイログラフのアニメーションである．

アニメーションを見るためには，画をダブルクリックする．

マウラーのスパイログラフ

マウラーの考え(1989)を使って，スパイログラフを向上させる．

平面上にパラメータ化された閉じた曲線があるとする．パラメータドメインの 個（とはともに正の整数）の部分への分割に対応する，曲線上の点を求める．個のマウラー角形が点（ここでk=1，2，...，d）を接続することで形成される．

スパイログラフの描画である．

この曲線に対するマウラー多角形の集合である．

ここでもColorPolygons関数を使って多角形を着色する．

関数ColoredMaurerSpirographはスパイログラフをマウラー多角形の集合のうちの1つを使って示す．

スパイログラフ適用の歴史

スパイログラフは1940年代には，重要な適用性を持っていた．当時，スパイログラフは高次の整方程式の「手動」解法として使われた．この事実を理解するために，次の変数zについての多項式 について考えてみる．

変数zをその極形式であるで置き換える．ここでrとは絶対値であり，zの位相あるいは引数である．

r の値の範囲についてのスパイログラフである．

原点付近にズームしてみる．

もっと近づいてみる．

以下は絶対値であり，多項式のゼロの引数である。

これらの絶対値に対応するスパイログラフ曲線は，すべて原点を通過する．

を変化させるのにアナログ回路が使用され，対応するスパイログラフはオシロスコープを使って観測された．を決定するためにさらに分析を続けると，多項式のゼロの近似となった．