1.9.9 パラメトリックプロット

1.9.1において，Mathematicaを使いどう座標を座標の関数としてプロットし，曲線を生成するかを説明した．Mathematicaを使いパラメトリックプロットを行うことも可能である．パラメトリックプロットでは，各点のと座標は，ともに第3のパラメータ，例えば，に依存した関数，として与えられる．

パラメトリックプロット用の関数

各プロット点の座標をSin[t]とし，座標をSin[2t]とした曲線をプロットする．

In[1]:= ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}]

Out[1]=

プロット曲線の「形」は，プロット全体の縦横比によって変わる．

In[2]:= ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}]

Out[2]=

縦横比AspectRatioをAutomaticにして，実際の，座標の値で定義される曲線の「真の形」が維持されるようにする．

In[3]:= Show[%, AspectRatio -> Automatic]

Out[3]=

3Dパラメトリックプロット

3Dパラメトリックプロットで使うParametricPlot3D[, , , t, tmin, tmax] は，2次元の ParametricPlot[, , t, tmin, tmax]に準じている．また，どちらの次元のプロットでも，パラメータtをふることでプロット点が生成され，また，それらの点が結ばれることで曲線が形成される．ParametricPlotなら，曲線は2次元だし，ParametricPlot3Dなら，3次元である．

パラメトリックプロットでらせん状の曲線を作る．tをふることで, 平面上の回転運動と，方向の直線運動を作り出している．

In[4]:= ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}]

Out[4]=

ParametricPlot3D[, , , t, tmin, tmax, u, umin, umax]を使うと，形成されるのは3Dの曲面で，曲線ではない．曲面は四辺形の面要素で構成され，四辺形の各頂点は，等間隔の格子上でtとuが取る値において決定されるの各値に対応した座標を持つ．

プロットされる四辺形の, 座標は，単にt, uで置き換えたものである．したがって，Plot3Dで生成されるものと同種の曲面プロットが得られる．

In[5]:= ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]},
{t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

Out[5]=

これは，前のものとほとんど同じだが，1つ違いがある．の式を2次曲線としたのでプロットが方向に歪んでしまった．

In[6]:= ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]},
{t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

Out[6]=

上でプロットしたらせん状曲線をもとに，らせん状の曲面を作ってみる．曲線の各点で四辺形を描いていくことで曲面を形成する．

In[7]:= ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3},
{t, 0, 15}, {u, -1, 1}]

Out[7]=

ParametricPlot3Dをうまく使えば，複雑に入り組んだ構造の曲面を作ることができる．このような曲面の形成の仕方は，, 平面を「歪めたり」，「丸めたり」して行うものととらえると分かりやすいかもしれない．

円筒形の曲面を作る．パラメータtをふることで，, 平面に円を描き，方向に円を移動させる．

In[8]:= ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u},
{t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}]

Out[8]=

ドーナツ状の曲面（トーラス）を作る．uをふることで円を描き，tをふることで円を軸中心に回転させる．

In[9]:= ParametricPlot3D[
{Cos[t] (3 + Cos[u]), Sin[t] (3 + Cos[u]), Sin[u]},
{t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]

Out[9]=

最後に，球を作ってみる．

In[10]:= ParametricPlot3D[
{Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]},
{t, 0, 2Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2}]

Out[10]=

ParametricPlot3Dで曲面プロットをするときは，特に，パラメータとして適切な変数を選択することが大切である．また，パラメータを変化させていったときプロット面が部分的にでも複数回にわたって描画されないように注意しなければいけない．同じ点を何回もプロットするとメッシュが部分的に途切れてしまうことがあるし，また，プロットを完了するのに余計な時間がかかってしまう．