3.3.1 多項式の変形操作

多項式の変形操作

単一変数からなる多項式を入力する．

In[1]:= (2 + 4 x^2)^2 (x - 1)^3

Out[1]=

Expandを使い，積とベキを展開し，単純な和の形に書き直す．

In[2]:= t = Expand[ % ]

Out[2]=

Factorで多項式を完全に因数分解する．

In[3]:= Factor[ t ]

Out[3]=

FactorTermsを使い，多項式 tのすべての項に共通な因数をカッコの外に取り出す．

In[4]:= FactorTerms[ t ]

Out[4]=

同じ多項式でも，さまざまな形に書かれる．そのうちの3つの標準的な形が関数 Expand， FactorTermsと Factorで得られる． Expandは，多項式の持つすべての積を展開し，式を単純な項の和の形でまとめ直す． FactorTermsは，すべての項に共通な因子でまとめ直す．また， Factorは，なるべく小さい次数の因数に分解する．

複数の変数の多項式については，変数のどれか1つを主要な変数とし，その変数について式を書き直すことが考えられる． Collect[poly, x]は， xを主変数とみたてて，多変数の多項式を xのベキ乗項の和の形に書き直す．

2つの変数を持つ多項式を例に使う．

In[5]:= Expand[ (1 + 2x + y)^3 ]

Out[5]=

xを主変数とし多項式に Collectを作用させる．

In[6]:= Collect[ %, x ]

Out[6]=

主変数を複数指定した上で Collectを使う．すると，指定した変数について多項式をまとめ直してくれる．

In[7]:= Collect[ Expand[ (1 + x + 2y + 3z)^3 ], {x, y} ]

Out[7]=

制約付きの多項式の展開

xを含まない部分は展開しないようにする．

In[8]:= Expand[(x + 1)^2 (y + 1)^2, x]

Out[8]=

今度は，式の部分でパターン b[_]に合ったオブジェクトを持たないものを展開から外す．

In[9]:= Expand[(a[1] + a[2] + 1)^2 (1 + b[1])^2, b[_]]

Out[9]=

ベキの展開

Mathematicaは， cが整数である場合を除いて， (a b)^cのような形の項を自動的に展開しない．一般に，後者の展開は aと bがともに正の実数であるときに限り正しい．それでも，関数 PowerExpandを使えば， aと bが正の実数であると仮定され展開してくれる．

この式は自動的に展開してくれない．

In[10]:= (x y)^n

Out[10]=

それでも， PowerExpandを使うと， xと yを正の実数と仮定し展開してくれる．

In[11]:= PowerExpand[%]

Out[11]=

Logもそのままでは展開してくれない．

In[12]:= Log[%]

Out[12]=

今度も， PowerExpandを使えば展開できるようになる．

In[13]:= PowerExpand[%]

Out[13]=

式のまとめ直し

各所で関数 fを使った式を入力する．

In[14]:= t = 3 + x f[1] + x^2 f[1] + y f[2]^2 + z f[2]^2

Out[14]=

パターン f[_]にマッチするオブジェクトを共通成分とする項でまとめ直す．

In[15]:= Collect[t, f[_]]

Out[15]=

求まった各項の係数部に Factorを適用 する．

In[16]:= Collect[t, f[_], Factor]

Out[16]=