3.5.11 積分変換と関連する演算

ラプラス変換

1次元ラプラス変換

関数のラプラス変換は，で与えられる．の逆ラプラス変換は，適当なの値に対してで与えられる．

簡単なラプラス変換を求める．

In[1]:= LaplaceTransform[t^4 Sin[t], t, s]

Out[1]=

逆ラプラス変換を求める．

In[2]:= InverseLaplaceTransform[%, s, t]

Out[2]=

簡単な変換でも特殊関数が必要になることがしばしばある．

In[3]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^2), t, s]

Out[3]=

結果にはマイヤーのG関数が含まれる．

In[4]:= LaplaceTransform[1/(1 + t^3), t, s]

Out[4]=

ベッセル関数のラプラス変換は超幾何関数を含む．

In[5]:= LaplaceTransform[BesselJ[n, t], t, s]

Out[5]=

ラプラス変換は，本質的に微積分を代数演算に変換するという特性がある．従って，一般に微分方程式で支配される系に広く使用される．

ラプラス変換を施すと，積分はの乗算となる．

In[6]:= LaplaceTransform[Integrate[f[u], {u, 0, t}], t, s]

Out[6]=

多次元ラプラス変換

フーリエ変換

1次元フーリエ変換

フーリエ変換を施す．

In[1]:= FourierTransform[1/(1 + t^4), t, ]

Out[1]=

逆変換を見付ける．

In[2]:= InverseFourierTransform[%, , t]

Out[2]=

Mathematicaでは関数の フーリエ変換は，デフォルトではで定義される．の逆フーリエ変換は同様にとして定義される．

科学技術分野では，分野によりフーリエ変換の定義に異なった様々な規約が用いられる．MathematicaのFourierParametersオプションで任意の規約を選択することができる．

様々な規約のFourierParametersの典型的な設定

パラメータとしてデフォルトを選択をしたフーリエ変換である．

In[3]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, ]

Out[3]=

信号処理で通常用いられるパラメータを選択した同じフーリエ変換である．

In[4]:= FourierTransform[Exp[-t^2], t, ,
FourierParameters->{0, -2 Pi}]

Out[4]=

フーリエ正弦，余弦変換

フーリエ変換を使う分野によっては複素指数を全く使用しない方が便利なことがある．フーリエ正弦および余弦変換では，の替わりにそれぞれとを積分し， との替わりに0からの範囲で積分する．

のフーリエ正弦，余弦変換である．

In[5]:= {FourierSinTransform[Exp[-t], t, ],
FourierCosTransform[Exp[-t], t, ]}

Out[5]=

多次元フーリエ変換

2次元フーリエ変換を評価する．

In[6]:= FourierTransform[(u v)^2 Exp[-u^2-v^2], {u, v}, {a, b}]

Out[6]=

逆フーリエ変換を施す．

In[7]:= InverseFourierTransform[%, {a, b}, {u, v}]

Out[7]=

Z変換

Z変換

関数のZ変換は，で与えられる．のZ逆変換は，線積分で与えられる．Z変換は離散化されたラプラス変換に相当する．特にデジタル信号処理や制御理論等で差分方程式の解法に幅広く用いられている．これらは組合せ理論および数論でよく使用される生成関数を作成するものと考えられる．

のZ変換を計算する．

In[1]:= ZTransform[2^-n, n, z]

Out[1]=

逆Z変換を施す．

In[2]:= InverseZTransform[%, z, n]

Out[2]=

の生成関数は指数関数である．

In[3]:= ZTransform[1/n!, n, z]

Out[3]=