3.4.1 方程式と解の表現

Mathematicaは方程式を論理構文として扱う． x^2 + 3x == 2と方程式を入力すると， Mathematicaはこれを x^2 + 3xは 2に等しいとする構文として解釈する． xに特定の値を割り当てると（例えば， x = 4というように）， Mathematicaが判断できるようになり，論理構文 x^2 + 3x == 2がFalseであることが判明する．

一方， xに特定の値を与えなければ，判断不能なままなので， x^2 + 3x == 2が TrueなのかFalseなのか判明しない．そして，方程式はそのままの記号代数式の形 x^2 + 3x == 2で残される．

Mathematicaでは，記号代数式の方程式に各種の操作を施せる．方程式をまとめ直すには，特定の変数の組について解けた形にするのが普通であろう．

シンボル的な方程式を例に見てみる．

In[1]:= x^2 + 3x == 2

Out[1]=

Reduceを使って， xの「解」が得られるように整理し直す．得られる式も，もとの方程式と同じように論理構文として見ることができる．

In[2]:= Reduce[%, x]

Out[2]=

2次方程式 x^2 + 3x == 2は， xの値について暗示的な構文と考えられる．上の例で示したように，関数Reduceを使えば，より明示的に xの値を表した式に書き換えられる．Reduceが生成する式は x == || x == の形を取る．この式もまた論理構文であり， xは か に等しいとの意味を持つ．この論理構文を満たす xの値は，もとの2次方程式を満たす xの値と全く同じである．ただし，多くの場合，Reduceで得られる式の方がもとの方程式よりはるかに有用である．

方程式は他の論理構文と同じように組み合せたり，操作したりすることが可能である． ||や &&等の論理結合記号を使い，代替や連立の条件を設定できる．また， LogicalExpandやFullSimplifyのような関数を使い，方程式の組を簡約することも可能である．

方程式は，通常，論理構文として変形操作すると便利である．しかし，場合によっては，求められた方程式の解を他の計算に利用したい．そのような場合は，方程式を lhs == rhsのもとの形から lhs -> rhsの変換規則の形に置き換えておくとよい．解を変換規則の形にしておけば，置換記号 /.を使い簡単に解を式に代入できるようになる．

Reduceを適用すると，2次方程式の根に相当する xの値に関した論理構文が生成される．

In[3]:= Reduce[ x^2 + 3x == 2, x ]

Out[3]=

ToRulesを作用させ，論理構文から変換規則のリストを作成する．

In[4]:= {ToRules[ % ]}

Out[4]=

変換規則を使い，解を xを含む式に代入することができる．

In[5]:= x^2 + a x /. %

Out[5]=

Solveを使うと，解が変換規則の形で生成される．

In[6]:= Solve[ x^2 + 3x == 2, x ]

Out[6]=