3.9.4 総和および乗積の数値計算

数値解析による総和と乗積

を数値近似する．

In[1]:= NSum[1/(i^3 + i!), {i, 1, Infinity}]

Out[1]=

厳密な答が見付からないため，和はシンボル的な形で返される．

In[2]:= Sum[1/(i^3 + i!), {i, 1, Infinity}]

Out[2]=

それでも， Nを適用すれば数値的な答が求まる．

In[3]:= N[%]

Out[3]=

NSumでは，まず，いくつかの項が実際に計算され，その結果をもとに残る項の寄与量が推定される．この推定を行うには2つのアプローチが取られる．その1つはオイラー・マクローリン法と呼ばれ，積分をもとに総和を推定する手法に基づいたアプローチである．もう1つは，ウィン(Wynn)のイプシロン法として知られ，和の項を余分にサンプリングし，その求めた値をある指数減少関数を掛け合わせた多項式にフィット処理する，という手法に基づくアプローチである．

NSumの特別オプション

特に評価法を上記の手法のどちらかに指定しなければ， NSumでは自動的にその手法が選択される．どちらを使うにせよ，和を求めようとする関数に特定の仮定がなされる．もし仮定した条件が実際の式に合わないと，答は間違ったものになる．

NSumは，無限大の極限を持った和を求める問題で最もよく使われる．もちろん，有限の極限を持った和にも使える．総和を取るオブジェクトに関して特定の条件を仮定することで， Sumで必要になるような大量な関数評価を避けることが可能になる．

を外挿処理で数値計算する．

In[4]:= NSum[Exp[-n], {n, 0, 100}]

Out[4]=

今度は，代数的に和を求め，その結果を数値計算する．先の方法よりだいぶ遅いが，正確な答が見付かる．

In[5]:= Sum[Exp[-n], {n, 0, 100}] //N

Out[5]=

NProductは基本的に NSumと同様に機能し，オプションも同じように使う．