3.6.3 ベキ級数の演算

Mathematicaでは各種の演算をベキ級数に対してできる．演算が何であろうと，入力した精度に見合うだけの次数までしか式は展開されない．

4次まで正確なベキ級数が求まる．

In[1]:= Series[ Exp[x], {x, 0, 4} ]

Out[1]=

2乗した答もベキ級数である．精度は4次までのままである．

In[2]:= %^2

Out[2]=

対数をとる．答は 2xだが，やはり4次までしか展開しない．

In[3]:= Log[%]

Out[3]=

有限精度実数が的確な桁数になっているか常に検査され自動調整されるように，ベキ級数の次数精度もまた自動調整される．数値計算の場合と同じように，ベキ級数の演算でも演算操作によっては次数精度が上がったり下がったりする．

10次までの精度でベキ級数展開する．

In[4]:= Series[ Cos[x], {x, 0, 10} ]

Out[4]=

式がベキ級数展開されるが，6次までの精度しかない．

In[5]:= 1 / (1 - %)

Out[5]=

Mathematicaでは，ベキ級数の微積分も可能である．

をベキ級数展開する．

In[6]:= Series[Tan[x], {x, 0, 10}]

Out[6]=

xに関し導関数を求める．

In[7]:= D[%, x]

Out[7]=

xについて積分すると，もとの級数と同じ xを変数とする級数が得られる．ただし，積分した式には違う定数項が入る．

In[8]:= Integrate[%, x]

Out[8]=

通常の式とベキ級数の両方を含む演算操作をすると，式の方がベキ級数に吸収されるように操作が進められる．

1が自動的にベキ級数に吸収される．

In[9]:= 1 + Series[Exp[x], {x, 0, 4}]

Out[9]=

x^2もまたベキ級数に吸収される．

In[10]:= % + x^2

Out[10]=

Sin[x]を加えると，まず， Sin[x]が適切なベキ級数に展開され，次に，先のベキ級数に組み込まれる．

In[11]:= % + Sin[x]

Out[11]=

ベキ級数に掛け合わされる項も吸収される．未知数 aは xに依存しないものとみなされる．

In[12]:= (a + x) %^2

Out[12]=

Mathematicaではさまざまな関数がベキ級数に適用可能である．ただし，適用する関数が未知のときは，記号的な答しか得られない．

fは未知な関数を表す．このため，ベキ級数には適用されず，シンボル的な答しか得られない．

In[13]:= f[ Series[ Exp[x], {x, 0, 3} ] ]

Out[13]=