3.6.4 発展：ベキ級数の合成と逆関数

ベキ級数を操作するとき，級数を，合成したり逆関数がとれる1種の関数を表すものととらえると便利なことがある．

ベキ級数の合成と逆関数

を までベキ級数展開する．

In[1]:= Series[Exp[x], {x, 0, 5}]

Out[1]=

のベキ級数のもつ変数 が のベキ級数で置換される．

In[2]:= ComposeSeries[%, Series[Sin[x], {x, 0, 5}]]

Out[2]=

をベキ級数展開する．

In[3]:= Series[Exp[Sin[x]], {x, 0, 5}]

Out[3]=

方程式 を について解くとき，関数 についてベキ級数が存在するのであれば，この級数を使った近似解を得ることが可能になることがよくある．このベキ級数は結局， となる逆関数 を与えていることになる．逆関数に関するベキ級数を求めることをベキ級数の復帰ともいう．

のベキ級数を例に見てみる．

In[4]:= Series[Sin[y], {y, 0, 5}]

Out[4]=

級数の逆関数をとる． の級数が求まる．

In[5]:= InverseSeries[%, x]

Out[5]=

2つの級数を合成する．すると，恒等関数が得られる．

In[6]:= ComposeSeries[%, %%]

Out[6]=