3.6.7 総和

総和

この式は をベキ級数展開したものと解釈される．

In[1]:= Sum[x^n/n!, {n, 0, Infinity}]

Out[1]=

ベッセル関数が使われ和が求められる．

In[2]:= Sum[x^n/(n!^2), {n, 0, Infinity}]

Out[2]=

この和にも標準的な特殊関数が使われる．

In[3]:= Sum[n! x^n/(2n)!, {n, 1, Infinity}]

Out[3]=

和をとるとき一般化された超幾何関数が現れることはそれほどめずらしくない．

In[4]:= Sum[x^n/(n!^4), {n, 0, Infinity}]

Out[4]=

総和と積分の間にはいろいろと似た点がある．不定形の積分があるように，不定形の和も変数を上限指定に使うことで扱うことができる．

これは，実効的な不定形の和を形成する．

In[5]:= Sum[k, {k, 0, n}]

Out[5]=

この和は不完全ガンマ関数で構成される．

In[6]:= Sum[x^k/k!, {k, 0, n}]

Out[6]=

今度は，ポリガンマ関数で構成される．

In[7]:= Sum[1/(k+1)^4, {k, 0, n}]

Out[7]=

と の逐次値から得られる式の差をとっていくともとの和が求まる．

In[8]:= FullSimplify[ % - (% /. n->n-1) ]

Out[8]=

数学の公式集にある和の式なら Mathematicaですべて求まる．不定積分でそうだったように，単純な関数を含む式からなる不定和でも，その答は複雑なものになりがちである．それでも，定積分のように，定形の和については，求まる答がもとの関数より簡単な関数で構成することが可能である．

不定形の和をとる．答が非常に複雑になってしまう．

In[9]:= Sum[Binomial[2k, k]/3^(2k), {k, 0, n}]

Out[9]=

定形の和はかえって簡略される．

In[10]:= Sum[Binomial[2k, k]/3^(2k), {k, 0, Infinity}]

Out[10]=

多少複雑な和をとってみる．

In[11]:= Sum[PolyGamma[k]/k^2, {k, 1, Infinity}]

Out[11]=