3.6.9 極限

計算を進めていくと，変数が特定の値をとり，式を評価する必要が出てくる．その多くの場合には，単に置換演算子 /.を使い変換規則を適用することで対処できる．

が 0のときのの値を求めるには，単に を0におけばよい．

In[1]:= Cos[x^2] /. x -> 0

Out[1]=

ところが，場合によっては特別な配慮をしなければならないときがある．

例えば， のときの の値を考えてみよう．単純に を0に置き換えると答は不定，つまり， になってしまう． の点における の正しい値を求めるには極限をとらなければならない．

極限を求める

のときの の極限を求める．正確な値が求まる．

In[2]:= Limit[ Sin[x]/x, x -> 0 ]

Out[2]=

この式には有限の極限値が存在しない．

In[3]:= Limit[ Sin[x]/x^2, x -> 0 ]

Out[3]=

で をベキ級数に展開できなくてもその極限は求まる．

In[4]:= Limit[ x Log[x], x -> 0 ]

Out[4]=

この例でも同じことがいえる．

In[5]:= Limit[ ( 1 + 2 x ) ^ (1/x), x -> 0 ]

Out[5]=

Sign[x]の x=0での値は 0.

In[6]:= Sign[0]

Out[6]=

しかし，極限値は 1．極限はデフォルトでは上からの極限．

In[7]:= Limit[Sign[x], x -> 0]

Out[7]=

ある点についてすべての関数が極限をもっているとは限らない．例えば，関数 は の近傍で激しく振動するため，定まった極限をもたない．とはいうものの， が実数である限り の近傍における関数の値は必ず から 1の範囲にある．極限がある有限の幅の中を動くとき， LimitはIntervalを使ってその区間を示す． Interval[xmin, xmax]は，不確定な極限の値が xminから xmaxの間にあることを示す．

Limitを作用させると Intervalオブジェクトが返ってくる．同オブジェクトは真性特異点である 近傍において がとり得る値の範囲を表している．

In[8]:= Limit[ Sin[1/x], x -> 0 ]

Out[8]=

Intervalオブジェクトには演算操作が行える．

In[9]:= (1 + %)^3

Out[9]=

Intervalオブジェクトが使われ極限がシンボル的に表される．

In[10]:= Limit[ Exp[Sin[x]], x -> Infinity ]

Out[10]=

関数によっては，どの方向から接近していくかにより極限が異なるものがある． Limitにオプション Directionの設定を行うことで，方向が指定できる．

接近方向と極限

点 に左から接近するか右から接近するかにより は異なる極限をもつ．

In[11]:= Plot[1/x, {x, -1, 1}]

Out[11]=

左から接近すると極限は になる．

In[12]:= Limit[ 1/x, x -> 0, Direction -> 1 ]

Out[12]=

右から接近すると極限は である．

In[13]:= Limit[ 1/x, x -> 0, Direction -> -1 ]

Out[13]=

f[x]等の未知の関数に対してLimitを適用しても，関数の特性が判明していないため，極限はシンボル的な関数の形に留められ，評価は行われない．

fが未知なため，極限は未評価のまま残される．

In[14]:= Limit[ x f[x], x -> 0 ]

Out[14]= Limit[x f[x], x 0]