Mathematicaチュートリアル

極限を求める

計算を進めていくと，変数が特定の値を取り，式を評価する必要が出てくる．その多くの場合には，単に置換演算子/.を使い変換規則を適用することで対処できる．

xが0のときのcos (x²)の値を求めるには，単にx を0におけばよい．

In[1]:=

Out[1]=

ところが，場合によっては特別な配慮をしなければならないときがある．

例えば，x=0のときの

の値を考えてみよう．単純にx を0に置き換えると答は不定，つまり，

になってしまう．x=0の点における

の正しい値を求めるには極限を取らなければならない．

Limit[expr,x->x₀]

式 expr の x が x₀ に接近していったときの極限を求める

極限を求める

x→0のときの

の極限を求める．正確な値が求まる．

この式には有限の極限値が存在しない．

x=0でxlog (x)をベキ級数に展開できなくてもその極限は求まる．

この例でも同じことが言える．

Sign[x]のx=0での値は0．

しかし，極限値は1.極限はデフォルトで上から取られる．

In[7]:=

Out[7]=

ある点についてすべての関数が極限を持っているとは限らない．例えば，関数sin (1/x)はx=0の近傍で激しく振動するため，定まった極限を持たない．とはいうものの，x が実数である限りx=0の近傍における関数の値は必ず-1から1の範囲にある．極限がある有限の幅の中を動くとき，LimitはIntervalを使ってその区間を示す．Interval[{x_min, x_max}]は，不確定な極限の値がx_min からx_max の間にあることを示す．

Limitを作用させるとIntervalオブジェクトが返ってくる．同オブジェクトは真性特異点であるx=0近傍においてsin (1/x)が取り得る値の範囲を表している．

In[8]:=

Out[8]=

Intervalオブジェクトには演算操作が行える．

In[9]:=

Out[9]=

Intervalオブジェクトが使われ極限がシンボル的に表される．

In[10]:=

Out[10]=

関数によっては，どの方向から接近していくかにより極限が異なるものがある．LimitにオプションDirectionの設定を行うことで，方向が指定できる．

Limit[expr,x->x₀,Direction->1]
	x が x₀ に下から接近したときの極限を求める
Limit[expr,x->x₀,Direction->-1]
	x が x₀ に上から接近したときの極限を求める