Mathematicaチュートリアル

入門：微分方程式の数値解法

NDSolve[eqns,y,{x,x_min,x_max}]
	独立変数x のx_min からx_max の区間において，関数y について数値解析的に解く
NDSolve[eqns,{y₁,y₂,...},{x,x_min,x_max}]
	y_i について連立方程式を解く

微分方程式の数値解法

0<x<2における微分方程式y (x)=y (x)の数値解を生成する．結果は，補間関数InterpolatingFunctionの形で与えられる．

これは，y (1.5)の値である．

x²+3x+1=0のような代数方程式では，個々のx の解は単なる1つの数である．一方，微分方程式では，解は数ではなく関数である．例えば，y (x)=y (x)の方程式では，独立変数x の区間を限定した上で，関数y (x)の近似解を得るようにしたい．

Mathematica は，関数の近似解をInterpolatingFunctionオブジェクトとして返す．このオブジェクトは，特定のx の値に適用されるとき，その点におけるy (x)の近似値を返す．このときInterpolatingFunctionは，補間点xにおけるy (x_i)の値から構成されるテーブルを保持し，このテーブルで補間することで特定の点x におけるy (x)の近似値を求める．

y[x]/.solution	y[x]の値を求めるのに関数y にリスト規則を適用する
InterpolatingFunction[data][x]	点x で補間式を計算する
Plot[Evaluate[y[x]/.solution],{x,x_min,x_max}]
	微分方程式の解をプロットする

NDSolveで求まった解の応用

連立微分方程式を解く．

In[3]:=

Out[3]=

これは，解に従って求めたz[2]の値である．

In[4]:=

Out[4]=

第3行で求めたz[x]の解をプロットする．Plotの使い方は「基本的なプロット」を参照．

In[5]:=

Out[5]=

NDSolve[eqn,u,{x,x_min,x_max},{t,t_min,t_max},...]
	偏微分方程式を解く

偏微分方程式の数値解