Mathematicaチュートリアル

多項式の変形操作

Expand[poly]	式の積とベキ乗を展開する
Factor[poly]	式を因数分解する
FactorTerms[poly]	数値の共通因数をくくり出す
FactorTerms[poly,{x,y,...}]	x, y, ...に依存しない共通因数をくくり出す
Collect[poly,x]	多項式をx のベキ乗項として整理し直す
Collect[poly,{x,y,...}]	多項式をx, y, ...のベキ乗項として整理し直す

多項式の変形操作

単一変数からなる多項式を入力する．

In[1]:=

Out[1]=

Expandを使い，積とベキを展開し，単純な和の形に書き直す．

In[2]:=

Out[2]=

Factorで多項式を完全に因数分解する．

In[3]:=

Out[3]=

FactorTermsを使い，多項式tのすべての項に共通な因数をカッコの外に取り出す．

In[4]:=

Out[4]=

同じ多項式でも，さまざまな形に書かれる．そのうちの3つの標準的な形が関数Expand，FactorTermsとFactorで得られる．Expandは，多項式の持つすべての積を展開し，式を単純な項の和の形でまとめ直す．FactorTermsは，すべての項に共通な因子でまとめ直す．また，Factorは，なるべく小さい次数の因数に分解する．

複数の変数の多項式については，変数のどれか1つを主要な変数とし，その変数について式を書き直すことが考えられる．Collect[poly, x]は，xを主変数と見立てて，多変数の多項式をxのベキ乗項の和の形に書き直す．

2つの変数を持つ多項式を例に使う．

In[5]:=

Out[5]=

xを主変数とし多項式にCollectを作用させる．

In[6]:=

Out[6]=

主変数を複数指定した上でCollectを使う．すると，指定した変数について多項式をまとめ直してくれる．

In[7]:=

Out[7]=

Expand[poly,patt]

パターン patt にマッチする項を含まない部分は避けて多項式poly を展開する

制約付きの多項式の展開

xを含まない部分は展開しないようにする．

In[8]:=

Out[8]=

今度は，式の部分でパターンb[_]に合ったオブジェクトを持たないものを展開から外す．

In[9]:=

Out[9]=

PowerExpand[expr]	式expr に (ab)^c と (a^b)^c の形のベキ乗項があればそれらを展開する
PowerExpand[expr,Assumptions->assum]
	assum と仮定してexpr を展開する

ベキと対数の展開

Mathematica は，c が整数である場合を除いて， (a b)^c のような形の項を自動的に展開しない．一般に，後者の展開はa とb がともに正の実数であるときに限り正しい．それでも，関数PowerExpandを使えば，a とb が正の実数であると仮定し展開してくれる．

この式は自動的に展開してくれない．

In[10]:=

Out[10]=

それでも，PowerExpandを使うと，x とy を正の実数と仮定し展開してくれる．

Logもそのままでは展開してくれない．

今度も，PowerExpandを使えば展開できるようになる．

In[13]:=

Out[13]=

PowerExpandは，指定された仮定に対して正しい結果を返す．

In[14]:=

Out[14]=

Collect[poly,patt]	多項式においてパターンpatt にマッチしたオブジェクトを共通成分とする項をまとめる
Collect[poly,patt,h]	得られた各係数部にh を適用する