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ExponentialFamily

ExponentialFamily
GeneralizedLinearModelFitのオプションで，モデルの指数分布族を与える．
  • ExponentialFamilyは，でモデル化される独立 yi 観察の予測される分布を明記する．
  • 指数分布族の密度関数は，関数 a，b，c，d，h，確率変数 y，正準パラメータ Theta，分散パラメータ Phi について の形式で書くことができる．
  • パラメータ分布の可能な値には"Binomial"，"Poisson"，"Gamma"，"Gaussian"，"InverseGaussian"がある．
  • 観察された応答 yi は次のようなパラメータ分布の領域に限定される．
"Binomial"0<=y<=1
"Gamma"y>0
"Gaussian"y in R
"InverseGaussian"y>0
"Poisson"y>=0, y in Z
  • ExponentialFamily->"QuasiLikelihood"の設定で最大尤度フィット使用する擬似尤度関数を定義する．
  • 応答 yi と予測 についての対数擬似尤度関数は で与えられる．ただし，Phi は分散パラメータ，v(mu)は分散関数である．分散パラメータは入力データから推定され，オプションDispersionEstimatorFunctionで制御することができる．
  • ExponentialFamily->{"QuasiLikelihood", opts}の設定で，次のような擬似尤度サブオプションが指定できる．
"ResponseDomain"Function[y,y>0]応答 yiの領域
"VarianceFunction"Function[Mu,1]平均の関数としての分散
  • パラメータ分布は次の"VarianceFunction"と"ResponseDomain" のサブオプションを使った擬似尤度構造としてエミュレートすることができる．
"Binomial"mu (1-mu)0<=y<=1
"Gamma"mu^2y>0
"Gaussian"1y in R
"InverseGaussian"mu^3y>0
"Poisson"muy>0, y in Z
  • "Binomial"と"Poisson"族の"QuasiLikelihood"異形は，理論的な分散(phi=1)とは異なる過分散(phi>1)および分散不足 (phi<1)のデータモデルに使うことができる．
  • よく使われる分散関数，応答領域，用途は次の通りである．
mu^ky>0電力モデル，保険数理，気象学等
mu^k (1-mu)^k0<y<1確率モデル，二項関連等
alpha mu^2+muy>=0モデルの数え上げ，ポアソン関連等
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例   (1)
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データを簡単な線形回帰モデルにフィットする：
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正準ガンマ回帰モデルにフィットする：
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正準逆ガウス回帰モデルにフィットする：
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