MATHEMATICA 内置符号

CholeskyDecomposition

CholeskyDecomposition[m]
给出矩阵 m 的 Cholesky 分解.

更多信息

矩阵 m 可为数字矩阵或符号矩阵，但是必须为正定 Hermitian 型. »

CholeskyDecomposition[m] 生成一个满足 ConjugateTranspose[u].u==m 的上三角矩阵 u. »

范例

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例 (1)

矩阵是正定的：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

矩阵是正定的：

In[3]:=

Out[3]=

范围 (2)

希耳伯特矩阵是对称且正定的：

用精确算法计算 Cholesky 分解：

用机器算法计算 Cholesky 分解：

用 24 位精度算法计算 Cholesky 分解：

计算随机复数 Hermitian 矩阵的 Cholesky 分解：

推广和延伸 (1)

使用符号矩阵：

需要条件以确保矩阵为正定型：

应用 (1)

Cholesky 分解是一种快速确定正定的方法：

单位矩阵是正定的：

r 是一个 3x3 随机矩阵，估算

为正定的概率：

属性和关系 (2)

m 为对称正定矩阵：

计算 Cholesky 分解：

验证 ConjugateTranspose[u].u == m：

m 为随机实数矩阵：

求 Transpose[m].m 的 Cholesky 分解：

求 m 的 QRDecomposition：

除了对每行符号的选择不同之外，r 与 u 一致：

可能存在的问题 (2)

矩阵必须为充分正定，以避免数字舍入：

最小特征值在机器精度下相当于 0：

当精度足够高时，可以计算分解：

s 是一个稀疏三对角线矩阵：

即便结果为稀疏的，还是将 Cholesky 分解作为稠密矩阵计算：

用 LinearSolve 将得到一个有着稀疏 Cholesky 因式分解的 LinearSolveFunction：

参见

LUDecomposition LinearSolve LinearSolveFunction FindMinimum PseudoInverse QRDecomposition HermitianMatrixQ PositiveDefiniteMatrixQ

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