MATHEMATICA 組込みシンボル

CumulantGeneratingFunction

記号分布 dist についてのキュムラントの母関数を変数 t の関数として与える．

多変量記号分布 dist のキュムラントの母関数を変数

,

, ... の関数として与える．

詳細

CumulantGeneratingFunctionはLog[MomentGeneratingFunction[dist, t]]で与えられる．

CumulantGeneratingFunctionはLog[MomentGeneratingFunction[dist, {t₁, t₂, ...}]]で与えられる．

i 次キュムラントはSeriesCoefficient[cgf, {t, 1, i}]i!でキュムラント母関数 cgf から抽出することができる．

例題

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例 (3)

一変量連続分布のキュムラント母関数を計算する：

一変量離散分布のキュムラント母関数：

多変量分布のキュムラント母関数：

一変量連続分布のキュムラント母関数を計算する：

In[1]:=

Out[1]=

一変量離散分布のキュムラント母関数：

In[1]:=

Out[1]=

多変量分布のキュムラント母関数：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (4)

式の分布のキュムラント母関数を計算する：

確率変数の関数のキュムラント母関数を求める：

データ分布のキュムラント母関数を計算する：

切断分布のキュムラント母関数を求める：

アプリケーション (4)

2つの独立した確率変数の差のキュムラント母関数は両者のキュムラント母関数の差に等しい：

中心極限定理を説明する：

一般化された確率変量のキュムラント母関数を求める：

で最スケールされた一般化された

個の確率変量のモーメント母関数を求める：

大きい

極限を求める：

標準正規分布のモーメント母関数と比較する：

GammaDistributionに従った損失を保証するエッシャー(Esscher)プレミアを求める：

定義と比較する：

生存関数

のBernstein-Chernoff限界を構築する：

大きい

による限界近似：

特性と関係 (3)

CumulantGeneratingFunctionの指数関数はMomentGeneratingFunctionを返す：

CumulantGeneratingFunctionは連続するキュムラントの指数母関数である：

CumulantGeneratingFunctionを直接使う：

キュムラント

は

に等しい：

SeriesCoefficientによる形式を使う：

考えられる問題 (2)

裾部が長い分布の中にはいくつかの低次数のキュムラントしか定義できないものもある：

このため，CumulantGeneratingFunctionも定義されない：

CumulantGeneratingFunctionは閉形式では常に既知である訳ではない：

Cumulantを使って直接キュムラントを求める：