MATHEMATICA 内置符号

CumulantGeneratingFunction

给出符号式分布 dist 的累积量母函数，函数的自变量为 t.

给出多元符号式分布 dist 的累积量母函数，函数的自变量为

、

、....

更多信息

CumulantGeneratingFunction 由 Log[MomentGeneratingFunction[dist, t]] 得到.

CumulantGeneratingFunction 由Log[MomentGeneratingFunction[dist, {t₁, t₂, ...}]] 得到.

i 阶累积量可以通过 SeriesCoefficient[cgf, {t, 1, i}]i! 从累积量母函数 cgf 中提取得到.

范例

关闭所有单元

例 (3)

计算一个连续一元分布的累积量母函数：

一元离散分布的累积量母函数：

多元分布的累积量母函数：

计算一个连续一元分布的累积量母函数：

In[1]:=

Out[1]=

一元离散分布的累积量母函数：

In[1]:=

Out[1]=

多元分布的累积量母函数：

In[1]:=

Out[1]=

范围 (4)

计算一个公式分布的累积量母函数：

求随机变元函数的累积量母函数：

计算数据分布的累积量母函数：

求截断分布的累积量母函数：

应用 (4)

两个独立随机变量之差的累积量母函数等于这两个独立随机变量的累积量母函数之差：

说明中心极限定理：

求标准随机变量的累积量母函数：

对通过

进行缩放的

个标准随机变量之和，求矩母函数：

求较大的

极限：

与标准正态分布的矩母函数比较：

对服从 GammaDistribution 的损失进行的投保，求 Esscher 保险费：

与定义比较：

构建生存函数的 Bernstein-Chernoff 界限

：

该界限的大

近似：

属性和关系 (3)

CumulantGeneratingFunction 的指数即 MomentGeneratingFunction：

CumulantGeneratingFunction 是累积量序列的指数母函数：

直接使用 CumulantGeneratingFunction：

累积量

等价于

：

使用 SeriesCoefficient 的公式化形式：

可能存在的问题 (2)

对于某些长尾分布，仅有几个低阶累积量有定义：

相应地，CumulantGeneratingFunction 未定义：

CumulantGeneratingFunction 的解析式可能未知：

直接使用 Cumulant 求累积量：

参见

Cumulant CharacteristicFunction MomentGeneratingFunction FactorialMomentGeneratingFunction GeneratingFunction

更多关于

统计分布函数

统计矩与母函数

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