MATHEMATICA 内置符号

DiscreteWaveletTransform

DiscreteWaveletTransform[data]
给出 data 阵列的离散小波变换（DWT）.

给出使用小波 wave 的离散小波变换.

DiscreteWaveletTransform

给出使用 r 精细度的离散小波变换.

DiscreteWaveletTransform

给出图像的离散小波变换.

DiscreteWaveletTransform

给出采样声音的离散小波变换.

更多信息

DiscreteWaveletTransform 给出一个 DiscreteWaveletData 对象表示一个小波系数阵列树.

使用 dwd["prop"]可以找到 DiscreteWaveletData dwd 的属性，可用属性的列表可以用 dwd["Properties"] 得到.

data 可以是任意深度的矩形阵列.

默认情况下，输入 image 被转换为类型的图像.

由此得出的小波系数是与输入 data 具有相同深度的阵列.

可能的小波 wave 包括：

	BattleLemarieWavelet[...]	基于 B 样条的 Battle-Lemarié 小波
	BiorthogonalSplineWavelet[...]	B 样条为基础的小波
	CoifletWavelet[...]	Daubechies 小波的对称变量
	DaubechiesWavelet[...]	Daubechies 小波
	HaarWavelet[...]	典型的哈尔（Haar）小波
	MeyerWavelet[...]	在频域定义的小波
	ReverseBiorthogonalSplineWavelet[...]	B 样条为基础的小波（反向对偶和基本的）
	ShannonWavelet[...]	Sinc 函数为基础的小波
	SymletWavelet[...]	最不对称的正交小波

默认的是 HaarWavelet.

精细度 r 越高，可以解析更大规模的特征.

默认的精细度 r 是由给出，其中是 data 的最小维数. »

在第层的小波系数树包括粗系数和细节系数，其中代表输入 data.

正变换由和给出. »

逆变换由给出. »

是低通滤波器系数，是高通滤波器系数，它们是为每个小波族定义的.

和的维数是由给出，其中是输入 data 维数，fl 是对应的 wspec 的滤波器长度. »

可以使用下面选项：

Method	Automatic	使用的方法
Padding	"Periodic"	如何延伸超越边界的数据
WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算中使用的精确度

Padding 的设置与 ArrayPad 中可用的相同.

InverseWaveletTransform 给出逆变换.

范例

关闭所有单元

例 (3)

使用 HaarWavelet 计算离散小波变换：

使用 Normal 查看所有系数：

变换一个 Image 对象：

使用

提取系数图像：

计算逆变换：

变换一个采样的 Sound 对象：

使用 HaarWavelet 计算离散小波变换：

In[1]:=

Out[1]=

使用 Normal 查看所有系数：

In[2]:=

Out[2]=

变换一个 Image 对象：

In[1]:=

Out[1]=

使用

提取系数图像：

In[2]:=

Out[2]=

计算逆变换：

In[3]:=

Out[3]=

变换一个采样的 Sound 对象：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

In[3]:=

Out[3]=

范围 (36)

计算一个小波变换：

由此得出的 DiscreteWaveletData 表示变换系数的树：

逆变换重构输入：

有用的属性可以从 DiscreteWaveletData 对象中提取：

获取属性的全部列表：

获取数据和系数维数：

使用 Normal 明确获取所有小波系数：

使用 All 作为一个参数获得所有系数：

使用 Automatic 只获得用于逆变换的系数：

使用

或

找到哪个小波系数可用：

提取指定的系数阵列：

提取多个对应于小波索引指标列表的小波系数：

提取小波索引与模式匹配的所有系数：

Automatic 系数在函数诸如 WaveletListPlot 中被默认使用：

使用更高的精细度增加频率分辨率：

更小的精细度，更多的信号能量存在于

：

更高的精细度，

分解进更多的组件中：

使用不同的小波族计算离散小波变换：

比较系数：

使用不同的小波族，捕捉不同的特征：

HaarWavelet（默认的）：

DaubechiesWavelet:

BattleLemarieWavelet:

BiorthogonalSplineWavelet:

CoifletWavelet:

MeyerWavelet:

ReverseBiorthogonalSplineWavelet:

ShannonWavelet:

SymletWavelet:

使用 WaveletListPlot 在共同横轴上绘制系数：

在共同纵轴上绘制：

使用 WaveletScalogram 可视化作为时间函数的系数和精细度：

当鼠标移至系数时，系数索引在提示文本中出现：

常数数据：

所有系数都小，除了粗系数

：

在最高可解析的频率（奈奎斯特频率）的数据振荡：

只有第一个细节系数

不小：

具有很大不连续的数据：

粗系数

具有与数据一样大的结构规模：

细节系数对不连续很明感：

具有空间和频率的结构的数据：

粗系数

跟踪数据的局部均值：

第一个细节系数识别振荡区域：

在共同垂直轴上的所有系数：

计算一个二维的离散小波变换：

小波系数树的视图：

进行逆变换找回原始的信号：

使用 WaveletMatrixPlot 可视化不同的小波系数：

更高精细层的小波变换的 WaveletMatrixPlot：

二维中，每个方向的滤波操作矢量是可以计算的：

作为二进制数字扩展来诠释这些向量，我们可以获得小波索引数：

获得哈尔小波的低通和高通滤波器：

由此得到的2D滤波器是两个方向滤波器的外积：

阶梯数据的小波变换：

具有垂直不连续的数据：

只有垂直细节系数，小波索引

不为零：

具有水平不连续的数据：

只有水平细节系数，小波索引

不为零：

具有对角不连续的数据：

只有对角细节系数，小波索引

不为零：

计算一个三维离散小波变换：

所有系数的树视图：

逆变换找回原始信号：

三维交叉阵列的小波变换：

可视化小波系数：

变换系数时，原始数据的能量是守恒的：

变换一个 Image 对象：

逆变换产生一个重建的 Image 对象：

小波系数通常以每个图像通道的数据列表形式给出：

获取以 Image 对象表示的所有系数：

获取原 Image 对象，没有调整色彩级别：

以 Image 对象的形式获得

系数的逆变换：

使用 WaveletImagePlot 在分层网格中绘制逆变换中的系数：

Image 小波系数位于 ImageType 有效范围之外：

给出没有归一化的图像小波系数：

色彩通道位于其有效的0到1的范围之外：

默认情况下，

ImageAdjust 被用于归一化系数：

现在色彩通道在有效的0到1范围之内：

变换一个 Sound 对象：

逆变换产生一个重建的 Sound 对象：

默认情况下，系数是以每个声通道的数据列表的形式给出：

以 Sound 对象的形式给出系数

：

以 Sound 对象的形式给出系数

的逆变换：

使用 MenuView 浏览所有系数：

推广和延伸 (3)

DiscreteWaveletTransform 可用于符号量的阵列：

逆变换确切地恢复输入：

指定内部工作精度：

使用复数值数据：

小波系数是复数：

逆变换恢复输入：

选项 (5)

Padding 的设置与 ArrayPad 的方法一样，包括

：

:

填充可以去除边界效应：

默认情况下使用

填充：

填充对非周期数据具有较少的边界效应：

默认情况下，使用 WorkingPrecision->MachinePrecision：

使用更高精度的计算：

随着数字接近于零，Accuracy 可以更好地表明正确的数字：

使用 WorkingPrecision

进行确切计算：

应用 (11)

通过找到与几个非零系数的表示压缩数据：

SymletWavelet[n] 有 n 个消失矩，表示 n 次多项式：

Count 小波系数接近于0的数目：

在小波域中可视化不连续性：

不连续域的细节系数有更大的值：

检测图像的边缘：

设置粗系数为0，只用细节系数进行重建：

比较信号的累积能量、小波系数和傅立叶系数：

计算信号中排序的累积能量：

计算小波系数和傅立叶系数：

DWT 比 DFT 捕获更多的能量，用更少的系数：

执行依赖能量的阈值：

计算每个精细度包含的能量比例：

设置所含能量少于1%的小波系数为0：

执行依赖于幅度的阈值：

使用 WaveletThreshold 执行

阈值：

使用 Stein 的无偏风险估计平滑：

对一个 Image 进行降噪：

执行

阈值，每一级自适应计算阈值

：

逆变换阈值系数：

小波变换可用于滤波频率：

滤波两个信号，首先执行小波变换：

使用 WaveletListPlot 可视化频率分布：

滤波低频，只保留粗系数：

滤波高频，只保留细节系数：

提取自从2000年1月1日的 IBM 股票价格趋势：

在低通滤波器系数中捕获该序列趋势：

阈值所有细节系数，逆变换该序列给出趋势：

去趋势金融序列：

细节系数捕获去趋势序列：

通过去除粗系数和逆变换去除趋势：

在金融时间序列中研究利润的变动：

使用 HaarWavelet 和 SymletWavelet 执行小波变换：

因为 GE 的利润系列没有出现低频振荡，更高尺度的细节系数没有表明相对于零点的大的波动：

虽然两个滤波器会捕获序列的变动，它们是不同地分布因为它们近似带通的属性：

SymletWavelet 在某个频率间隔的隔离特征好于 HaarWavelet：

属性和关系 (15)

(15)

DiscreteWaveletPacketTransform 计算小波系数的全树：

DiscreteWaveletTransform 计算系数全树的子集：

DiscreteWaveletTransform 系数在每个精细度层上长度减半：

旋转数据给出不同的系数：

StationaryWaveletTransform 系数具有与原始数据一样的长度：

旋转数据给出旋转系数：

多维离散小波变换与一维包变换相关：

对于哈尔小波（默认）和数据长度

，计算得出的系数是一样的：

默认的精细度由

给出：

更高维的：

对于正交小波族，能量范数是守恒的：

对于双正交小波族，能量范数是近似守恒的：

数据均值在变换的最大精细度层获得：

提取最大精细度的系数：

在每个精细度上弥补

的归一化：

来自于单个系数阵列的逆变换的和给出原始数据：

单独逆变换每个小波系数阵列：

它们的和为原始数据：

计算周期数据的离散小波系数：

定义具有紧支集（compact support）的滤波系数：

在第

层的粗系数由

给出，其中

：

在第

层的细节系数由

给出：

计算部分离散小波逆变换：

定义具有紧支集（compact support）的滤波系数：

在第

层的粗系数为：

在第

层的细节系数为：

在第

层的小波逆变换由

给出：

在精细度

时，重建粗系数

：

在精细度

时，重建粗系数

：

计算小波系数的维数：

在精细度为

时，小波系数的维数由

给出，其中

表示输入 data 的维数：

比较

维数与 dwd 中的系数维数：

计算一维的哈尔离散小波变换：

计算

和

小波系数：

与 DiscreteWaveletTransform 相比较：

在二维中，每个方向应用分别的滤波器：

哈尔小波的低通和高通滤波器：

矩阵数据的哈尔小波变换：

使用 HaarWavelet 与 DiscreteWaveletTransform 相比较：

图像通道是分别变换的：

组合分别变换的图像通道的

系数：

比较原始图像的 DiscreteWaveletTransform 的

系数：

图像是相同的：

DWT 类似于 LiftingWaveletTransform，需要额外的系数进行填充：

可能存在的问题 (1)

填充可能会影响小波系数的总能量：

能量不守恒：

以0填充以确保系数的能量守恒：

巧妙范例 (1)

创建一个填充的数据矩阵：

创建哈尔 DWT 系数的三维图：

参见

InverseWaveletTransform DiscreteWaveletData WaveletThreshold LiftingWaveletTransform StationaryWaveletTransform DiscreteWaveletPacketTransform ArrayPad WaveletMapIndexed

版本 8 的新功能