MATHEMATICA 組込みシンボル

Eigensystem

Eigensystem[m]
正方行列

の固有値と固有ベクトルのリスト

を与える．

Eigensystem

についての

の一般化された固有値と固有ベクトルを与える．

Eigensystem

の最初の

個の固有値に対する固有値と固有ベクトルを与える．

Eigensystem

最初の

個の一般化された固有値と固有ベクトルを与える．

詳細

行列が近似実数または近似複素数を含むとき，Eigensystemは固有値と固有ベクトルを数値で求める．

近似数値行列 m について，固有ベクトルは正規化される．

与えられるすべての非零の固有ベクトルは独立している．固有ベクトルの数が，非零の固有値の数に一致する場合，対応する固有値と固有ベクトルはそれぞれのリストで対応する位置に置かれる．

独立した固有ベクトルの数を上まわる数の固有値がある場合，余った固有値はゼロのベクトルとペアで出力される． »

Eigensystem[m, ZeroTest->test]は式をゼロであるとみなすかどうかを，を使うことにより定める．デフォルト設定はZeroTest->Automaticである．

この固有値と固有ベクトルは，行列方程式m.Transpose[vectors]==Transpose[vectors].DiagonalMatrix[values]を満たす． »

一般化された固有値と固有ベクトルはm.Transpose[vectors]==a.Transpose[vectors].DiagonalMatrix[values]を満たす．

はとがそれぞれ固有値と固有ベクトルになるように設定するために使うことができる． »

Eigensystemは，TakeをEigensystem[m]の各要素に適用することに等しい．

オプション設定のCubics->TrueとQuartics->Trueを使って，すべての三次方程式と四次方程式について明示的な根基を生成するように指定することができる．

EigensystemでSparseArrayオブジェクトを使うことができる． »

例題

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例 (3)

記号的な固有値と固有ベクトル：

厳密な固有値と固有ベクトル：

数値：

数値的な方法で計算された固有値と固有ベクトル：

記号的な固有値と固有ベクトル：

In[1]:=

Out[1]=

厳密な固有値と固有ベクトル：

In[1]:=

Out[1]=

数値：

In[2]:=

Out[2]=

数値的な方法で計算された固有値と固有ベクトル：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (6)

20桁精度で数値的に計算された固有値と固有ベクトル：

vals と vecs をそれぞれ固有値と固有ベクトルに設定する：

最も小さい2つの固有値と固有ベクトル：

固有値は多重度によって独立固有ベクトルとともにリストされている：

独立固有ベクトルよりも固有値の方が多い場合はゼロベクトルが使われる：

一般化された固有値と固有ベクトルを計算する：

一般化と拡張 (2)

ブロック対角行列：

その固有値と固有ベクトル：

三重対角行列：

最も大きな3つの固有値と，それに対応する固有ベクトルのプロット：

オプション (2)

3×3のヴァンデルモンド(Vandermonde)の行列：

一般に，厳密な3×3行列の場合，結果はRootオブジェクトで与えられる：

結果を根基の形で得たいのであれば，Cubicsオプションを使うとよい：

Rootオブジェクトによる結果の方が，続く数値評価には適している：

4×4行列：

一般に，4×4行列の場合，結果はRootオブジェクトで与えられる：

CubicsオプションとQuarticsオプションを使って，結果を根基で得ることもできる：

アプリケーション (2)

次は3Dにおける二次形式である：

曲面

をプロットする：

CoefficientArraysを使って二次形式の対称行列を得る：

その固有値と固有ベクトルを数値的に計算する：

楕円の主軸を示す：

ローレンツ(Lorenz)方程式：

方程式の右辺のヤコビ(Jacobi)行列を求める：

均衡点を求める：

最初の八分円の1つ目のところでヤコビ行列の固有値と固有ベクトルを求める：

dir の方向にある pt の小さな摂動から逆方向に積分する関数：

右側の均衡点についての安定した曲線を示す：

左側の均衡点についての安定した曲線を求める：

安定した曲線をローレンツの方程式の解とともに示す：

特性と関係 (5)

どのような正方行列でも，それ自体の類似性関係を満足する：

正方行列の任意のペアは，一般化された類似性関係を満足する：

循環行列の固有システム：

対角化を使って行列指数関数を計算する：

MatrixExpを使って行列指数関数を計算する：

ランダムな対称行列の固有値と固有ベクトル：

固有ベクトルはすべて実数である：

数値的な固有ベクトルは計算の精度に正規直交する：

すべての行列が固有ベクトルの完全なセットを持つ訳ではない：

JordanDecompositionを使って厳密に計算する：

SchurDecompositionを使って数値的に計算する：

考えられる問題 (3)

一般的な記号的ケースがすぐに大変複雑になる：

式の大きさは指数的より速く増大する：

10,000×10,000疎行列を構築する：

固有ベクトル行列は密な行列で，表示するのには大きすぎる：

最も大きな，あるいは最も小さな固有値をいくつか計算するのは大抵の場合可能である：

固有値が密接にグループ化されている場合は，疎行列に対する反復的な方法が収束しないことがある：

1000回反復しても反復が収束していない：

期待値付近でアルゴリズムにシフトを与え，収束を加速することができる：