MATHEMATICA 組込みシンボル

Expectation

x が確率分布 dist に従うという仮定の下で expr の期待値を与える．

Expectation

x が data によって与えられた確率分布に従うという仮定の下での expr の期待値を与える．

Expectation

が多変量分布 dist に従うという仮定の下で expr の期待値を与える．

Expectation

,

, ... が独立であり分布

,

, ... に従うという仮定の下で expr の期待値を与える．

Expectation

pred を仮定して expr の条件付き期待値を与える．

詳細

は x Esc dist Esc dist またはと入力できる．

は expr Esc cond Esc pred またはと入力できる．

連続分布 dist では，expr の期待値はで与えられる．ただし，は dist の確率密度関数であり，積分は dist の領域で行われるものとする．

離散分布 dist では，expr の確率はで与えられる．ただし，は dist の確率密度関数であり，総和は dist の領域で行われるものとする．

データ集合 data では，expr の期待値はSum[expr, {x, data}]/Length[data]で与えられる．

一変量データは値のリストとして，多変量データはベクトルのリストとして与えられる．

ExpectationはExpectationに一致するので，最後の変数が最初に総和を求められたり積分されたりする．

Nは記号的に求まらない期待値についてはNExpectationを呼び出す．

使用可能なオプション：

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
GenerateConditions	False	パラメータについての条件を生成するかどうか
Method	Automatic	使用するメソッド

例題

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例 (3)

多項式の期待値を求める：

任意の式の期待値を計算する：

条件付き期待値を計算する：

多項式の期待値を求める：

Out[1]=

Out[2]=

Out[3]=

Out[4]=

任意の式の期待値を計算する：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

In[3]:=

Out[3]=

条件付き期待値を計算する：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

スコープ (25)

一変量連続分布の式の期待値を計算する：

一変量離散分布：

多変量連続分布：

多変量離散分布：

リストで指定された分布の式の期待値を計算する：

独立に分布した確率変数を使って期待値を計算する：

一般的な非零の確率条件による条件付きの期待値を計算する：

一変量離散分布：

多変量連続分布：

多変量離散分布：

ゼロ確率の条件付き事象の条件付き期待値を計算する：

記号評価が失敗した場合はN

を適用してNExpectationを呼び出す：

Assumptionsがない場合は，条件が生成される：

Assumptionsがある場合は，指定された仮定の下で有効な結果が返される：

有理関数の期待値を求める：

超越関数：

区分関数：

複素関数：

一変量連続分布の期待値を計算する：

一変量離散分布の期待値を計算する：

多変量連続分布の期待値を計算する：

多変量離散分布の期待値：

一変量のEmpiricalDistributionを使って期待値を計算する：

多変量の経験分布を使う：

一変量のHistogramDistributionを使う：

多変量のヒストグラム分布を使う：

一変量のKernelMixtureDistributionを使う：

打切りデータをSurvivalDistributionと一緒に使う：

TransformedDistributionを使って期待値を計算する：

同じ期待値をフォーマットする同等の方法：

ProductDistributionを使って期待値を求める：

同じ期待値の求める同等の方法：

正規分布の成分混合を使う：

指数分布の母数混合：

切断ディリクレ(Dirichlet)分布：

打切り三角分布：

周辺分布：

同じ期待値を定式化する同等の方法：

コピュラ分布：

定式化されている分布：

一般化と拡張 (1)

純関数を使って値のリストの期待値を計算する：

オプション (4)

Assumptionsがない場合は条件が生成される：

Assumptionsがある場合は，指定された仮定の下で有効な結果が返される：

多項式関数の期待値を計算する：

分布のモーメントを使って同じ結果を得る：

Expectationの定義を積分として使うと評価が遅くなる：

超越関数の期待値を計算する：

ここでは，式が多項式ではないのでモーメントに基づくメソッドはうまくいかない：

Expectationの定義を記号和として使うと結果が得られる：

TukeyLambdaDistribution中の関数の期待値を求める：

この分布の確率密度関数は閉形式では求まらない：

ゆえに，定義を直接適用するとうまくいかない：

Quantileを使うと期待値を計算することができる：

アプリケーション (20)

連続分布の原点の周りのモーメントを得る：

離散分布の平均を求める：

切断分布の分散を求める：

混合密度分布，ここではポアソン逆ガウス混合分布を構築する：

ParameterMixtureDistributionを使って同じ結果を直接得る：

凹関数

と対数正規分布についてのJensenの不等式

を証明する：

ある保険会社の契約では10を上限として損失を払い戻すことになっている．契約者の損失

は

では密度関数

に従いその他の場合は0である．保険契約下で支払われる給付金の期待値を求める：

ある保険会社では月ごとの保険金支払い請求額は，その確率密度関数が

で

に比例する正の連続確率変数

でモデル化できる．この会社の月ごとの請求額の期待値を求める：

風による被害に対する保険金支払い請求は

については共通密度関数

の独立確率変数でその他の場合は0である．

は千を単位とした請求額である．このような請求が3件あったとする．この3件のうち請求額が最も大きいものの期待値を求める：

は保険に加入していて事故に遭った車両の年齢を表しているとする．

は事故時点で当該車両の持ち主が保険に加入していた期間を表す．

と

の複合確率密度関数は

と

については

でその他の場合は0である．保険に加入していた車両の事故にあった時点での車齢の期待値を求める：

損害額再保険契約の超過があると，請求が保持レベルと呼ばれる固定額を超過した場合にのみ，保険会社と再保険会社がその請求額の支払い責任をともに負う．それ以外の場合は保険会社が請求額を満額支払う．請求額が母数

と

の対数分布に従うとして保持レベル

の場合に保険会社と再保険会社が支払う支払額

と

の期待値を計算する．保険会社が請求に対して支払う期待値を求める：

再保険者が保険会社に対して支払う期待値を求める：

時間

に支払われる1ドルの死亡手当の期待される時間的価値を計算する．

はGompertz-Makeham分布から導かれるものとする：

通常保険年の年初めに支払われ，

期間における支払いの期待される時間的価値が1回の正味の保険料と等しくなるために必要である，年間保険料を求める（

はGompertz-Makeham分布から導かれるものとする）：

結果の年間保険料：

株価の時間

（単位：年）におけ変動

は，母数

と

の対数正規分布に従うと考えられている：

時間

の株価の期待値を計算する：

投資家が1年間年利率

で連続複利計算して無リスクで投資できるとすると，リスク中立の価格条件には以下が必要である：

母数

について解く：

この株を固定価格

で今から1年後に買うオプションを考える．このようなオプションの値は次のようになる：

このオプションのリスク中立価格はオプションの期待値の現行値として決まる：

利率

が5%，変動母数

が0.087，株式の初期値が1株当り200ドル，行使価格が1株当り190ドルとすると，ブラック・ショールズオプション価格は次のようになる：

指標分布のTVaR（テイルバリューアットリスク）について考える：

指数寿命分布の平均故障時間(MTTF)を求める：

連続分布

からのサイズ10のランダムサンプルが昇順に並べられている．新たな確率変量が生成される．11番目のサンプルがソートされたリスト中に小さい方から4番目と5番目の間に位置する確率を求める：

この確率は

に等しく

には依存しない：

これは分布にも依存しない：

4個の六面サイコロが投げられた．最小値の期待値を求める：

最大値の期待値を求める：

最大値3つの和の期待値を求める．恒等式

とExpectationの線形性を使うと以下が得られる：

賭け金の上限がないカジノで勝率

の賭博に賭博者が金額

を賭けたとする．この賭博者は負けると賭け金を2倍にする．勝った場合は勝負をやめる．このためゲームの回数は幾何分布に従う．ゲーム回数の期待値は次の通りである：

番目のゲームで勝つために必要な現金：

この賭博者は常に最初に賭けた額を取り戻してカジノを去る：

上記を実行するために必要な現金は

で厳密に有利なゲームのときにのみ有限になる：

ある薬が40%のケースで有効であることが分かった．700ケースに処方された場合に成功数の期待値を求める：

打率3割(0.300)の野球選手がいる．3回打席に立った場合のヒット数の期待値を求める：

信号対ノイズ比がワイブル分布に従う場合の平均を求める：

特性と関係 (9)

連続分布における式の期待値は積分によって定義される：

離散分布における式の期待値は総和によって定義される：

条件付き期待値は期待値と確率の比として定義される：

NExpectationを使って期待値を数値で求める：

ある事象の確率を計算する：

Expectationを使って同じ結果を得る：

記号計算が失敗した場合，N

はNExpectationに等しい：

Mean，Moment，

Variance，その他の特性は期待値として定義される：

MomentGeneratingFunctionを含む母関数は期待値で定義される：

リストで指定される分布に関しては，ExpectationはMeanを使うことに等しい：