MATHEMATICA 組込みシンボル

Integrate

不定積分

を与える．

Integrate

定積分

を与える．

Integrate

多重積分

を与える．

詳細

Integrateはとして入力できる．

は，Esc int Escまたは\[Integral]として入力できる．

は通常のと異なり，Esc dd Escまたは\[DifferentialD]として入力される．

Integrateは，をの下付き文字として，を上付き文字として表すことによって入力できる．

多重積分は，標準的な反復表記の変形を使用する．第1変数は，最も外側の積分に対応して与えられ，これが最後に実行される． »

Integrateは，有理関数の積分を評価することができる．また，結果が同じ関数の組で表すことができる範囲で指数関数，対数関数，三角関数，そして逆三角関数の積分を評価することができる．

Integrateは，多くの特別関数によって結果を与えることができる．

Integrateは，明示的に積分できないものについてはある種の簡約化を実行する．

定積分については，Nを適用することで数値的な結果を得ることができる． »

新しいクラスの積分に結果を与えるために，Integrateが関わるパターンに値を割り当てることができる．

積分変数はのような構造や，頭部が数学関数ではない任意の式でもよい．

不定積分において，Integrateは，ほとんどすべてのパラメータの値に対して正しい結果を求める．

定積分において指定可能なオプション：

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての前提条件を指定
GenerateConditions	Automatic	パラメータについての制約条件を含む解を生成するかどうか
PrincipalValue	False	コーシー主値を求めるかどうか

Integrateは，標準的な公式集に載っているすべての不定積分とほとんどの定積分が評価できる．

StandardFormでは，Integrateはとして出力される．

例題

すべて閉じる

例 (6)

不定積分：

定積分：

Esc int Escを使って

を，Esc dd Esc使って

を入力する：

Ctrl+_ を使って下限を，Ctrl+%を使って上限を入力する：

最も外側の積分に

を含む重積分：

収束しない可能性がある積分はデフォルトで条件付きで返される：

不定積分：

In[1]:=

Out[1]=

定積分：

In[1]:=

Out[1]=

Esc int Escを使って

を，Esc dd Esc使って

を入力する：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]//TraditionalForm=

Ctrl+_ を使って下限を，Ctrl+%を使って上限を入力する：

In[1]:=

Out[1]=

最も外側の積分に

を含む重積分：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

収束しない可能性がある積分はデフォルトで条件付きで返される：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (22)

有理関数は常に閉じた形で積分できる：

これらはRootオブジェクトの和を含むことがある：

同様の積分が異なる種類の関数に至ることもある：

特殊関数によってのみ実行できる積分がたくさんある：

特殊関数を積分する：

区分関数を積分する：

複合的な不定積分：

補間関数を積分する：

有理関数：

代数関数：

初等関数：

特殊関数：

区分関数：

パラメータがある場合は，条件が必要なことが多い：

一般化された関数を積分する：

単位円上で定数を積分する：

単位円板上のより一般的な積分：

範囲は不等式の論理結合でも与えることができる：

RegionPlotを使って可視化した2Dの範囲：

範囲は何次元でもよい．以下では円錐上で積分を行う：

RegionPlot3Dで可視化した3Dの範囲：

パラメータ付きの関数を積分し区分的な結果を得る：

無限な数の範囲：

未知関数を含む積分は，可能な場合に実行される：

記号積分はパラメータについて微分されることができる：

一般化と拡張 (3)

積分変数は単一の記号ではなくてもよい：

不定積分と定積分の組合せ：

除去可能な特異点を含む被積分関数：

オプション (5)

Assumptionsを使わないと，条件が生成される：

Assumptionsを使うと，与えられた仮定の下で有効な結果が返される：

仮定を指定して区分不定積分を評価する：

パラメータの特定の値にしか有効でない条件は使わずに結果を生成する：

通常のリーマン(Riemann)定積分は分岐する：

コーシー(Cauchy)主値積分は有限である：

アプリケーション (6)

半径 r の円板の面積：

正方形と交差している円板の交点：

四次元の単位球の体積を求める：

正規分布の平均と偏差：

単位正方形の始点からランダムな点までの平均距離：

漸近的な結果と比較する：

ワイエルシュトラス(Weierstrassian)積分を使ってエネッパー(Enneper)の極小曲面を構築する：

特性と関係 (5)

Nを使って積分を数値的に評価する：

変数についての仮定の形が異なることがある：

簡単な微分方程式を解く：

負の整数順を持つDerivativeは積分を行う：

積分のラプラス(Laplace)変換：

考えられる問題 (13)

単純な積分の中にも標準的な数学関数で評価できないものがたくさんある：

単純に見える積分でも複雑な結果を返すことがある：

積分の導関数はもとの関数と同じ形で返されるとは限らない：

同じ被積分関数でも形式が異なると積分定数が異なる積分を与えることがある：

積分の結果は被積分関数中のパラメータの表示方法によることがある：

連続関数の不定積分が不連続になることがある：

のようなパラメータは不定積分の内側では汎用的であると仮定される：

定積分では条件が生成される：

積分変数はそれ自身が数学関数であってはならない：

和の一部が明示的に積分できなければ，和全体が積分されずに残される：

不定積分の結果に上限下限を代入することでは定積分の正しい答が得られないかもしれない：

不定積分の式にある不連続が異常項を生む：

積分からRootSumオブジェクトを展開すると大規模な結果になるかもしれない：

定積分は，無限大の区間でのみ閉形を持つことがある：

区分積分に含まれる要素が多すぎると，$MaxPiecewiseCasesを大きくする必要があるかもしれない：

おもしろい例題 (4)

Borwein型の積分：

シュリニヴァーサ・ラマヌジャン(Srinivasa Ramanujan)のノートにあった対数積分：

ネストした区分積分：