MATHEMATICA 組込みシンボル

LQRegulatorGains

StateSpaceModelオブジェクト ss と制御重み行列 q と r を持った二次費用関数の最適化状態フィードバックゲイン行列を与える．

LQRegulatorGains

費用関数に状態制御クロスカップリング行列 p を含む．

LQRegulatorGains

finputs を ss のフィードバック入力として指定する．

詳細

状態空間モデル ss はStateSpaceModelとして与えられる．a と b は連続時間系あるいは離散時間系の状態行列と入力行列を表す．

		連続時間系
		離散時間系

引数 finputs はにおけるフィードバック入力のの位置を指定する整数のリストである．

LQRegulatorGainsはLQRegulatorGains[{ss, All}, {...}]に等しい．

費用関数：

		連続時間系
		離散時間系

LQRegulatorGainsでは，クロスカップリング行列 p はゼロであるとみなされる．

最適化制御はで与えられる．はフィードバックゲイン行列で計算される．

連続時間系では，最適化フィードバックゲインはで計算される．は連続リッカチ(Riccati)方程式の解，はフィードバック入力に関連したの部分行列である．

離散時間系では，最適化フィードバックゲインはで計算される．は離散リッカチ方程式の解である．

が安定していてが検出可能でありかつであるなら最適化制御は一意的で安定している．

例題

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例 (5)

連続時間系の最適なフィードバックゲイン行列を計算する：

不安定な系の最適な制御ゲインを計算する：

閉ループ極と開ループ極を比較する：

離散時間系の私的な状態フィードバックゲイン行列を計算する：

第1入力を使って二入力系を制御するためのフィードバックゲインを計算する：

可安定化ではあるが可制御ではない系のフィードバックゲインの集合：

連続時間系の最適なフィードバックゲイン行列を計算する：

In[1]:=

In[2]:=

Out[2]=

不安定な系の最適な制御ゲインを計算する：

In[1]:=

閉ループ極と開ループ極を比較する：

In[2]:=

Out[2]=

離散時間系の私的な状態フィードバックゲイン行列を計算する：

In[1]:=

Out[1]=

第1入力を使って二入力系を制御するためのフィードバックゲインを計算する：

In[1]:=

Out[1]=

可安定化ではあるが可制御ではない系のフィードバックゲインの集合：

In[1]:=

Out[1]=

スコープ (5)

連続時間状態空間モデルのフィードバックゲインを計算する：

離散時間系のフィードバックゲイン：

費用関数が状態制御連結器を含む場合の最適なゲイン行列を計算する：

第4および第5入力のみがフィードバック入力である系のLQRゲイン：

最初の2つの入力がフィードバック入力である系のゲインとクロスカプリングがある費用関数：

アプリケーション (3)

不安定な系を安定化させる状態フィードバックゲインを計算する：

ステップ入力に対する閉ループ系の応答：

開ループ系は不安定である：

重み付き行列を決定するために費用関数の被積分関数ヘッシアン行列を計算する：

閉ループ系の自然応答：

フィードバックがないと系は激しく振動する：

混合タンク系の離散時間モデルの調整器を設計する：

第2入力でのインパルスに対する系の応答：

特性と関係 (9)

連続時間系では，最適化ゲイン行列は

である．

は連続時間リッカチ(Riccati)方程式の解である：

離散時間系では，最適化ゲイン行列は

である．

は離散時間リッカチ方程式の解である：

LQRの設計では，開ループ伝達関数のナイキスト(Nyquist)線図は常に

を中心とした単位円の外側にある：

したがって，ゲイン余裕

と位相余裕

は

と

を満足する：

状態に関連するゲインは重みが増えるに従って増える：

第2状態の高いペナルティのオーバーシュートは縮小する：

状態開ループ系では，

がゼロに近付くか

が無限大に近付くにつれてゲイン

はゼロに収束する：

ゲインが減少すると，閉ループの極は開ループのそれに近付く：

不安定な開ループ系では，

がゼロに近付くか

が無限大に近付くにつれてゲイン

は最小値に収束する：

ゲインが減少すると，閉ループ系の極は任意の安定したの極と不安定な開ループ系の安定した鏡像に近付く：

が無限大に近付くか

がゼロに近付くにつれ，ゲイン

の境界がなくなる：

ゲインが大きくなるにつれ，状態はよりペナルティを課せられその値は小さくなる：

最適費用はリャプノフ(Lyapunov)関数である：

最適化費用曲面に投影された状態軌道は漸近的に始点に近付く：

状態が1つの系の最適化状態軌道：

共状態軌道：

最適化入力軌道：

最適化費用軌道：

最適化費用は無限水平Hamilton-Jacobi-Bellman方程式

を満足する．ただし，

である：

最適化入力はハミルトン方程式を最小化し，ゆえに

を満足する：

考えられる問題 (4)

不安定な系についてはゲイン計算はできない：

制御重み行列が正定値行列でなければゲイン計算はできない：

正定値制御重み行列を使う：

虚軸上にペア

の可観測ではないモードがないときかつそのときに限り連続時間最適化調節器問題には解がある：

ゼロ固有値は可観測ではない：

始点を中心とする単位円上にペア

の可観測ではないモードがないときかつそのときに限り離散時間最適化調節器問題には解がある：

固有値1は可観測ではない：