原点の周りのモーメントを中心モーメントに変換する：
階乗モーメント：
キュムラント：
形式的なモーメント間のすべてのクロス変換を示す：
形式的なモーメント間の多変量クロス変換を示す：
分散のサンプル推定量を計算する：
サンプルサイズ
を想定し．推定量のバイアスをサンプリング母集団分布の平均として計算する：
サイズ5の記号サンプルに対して推定量を評価することで計算を説明する：
次に，
が正規分布に従う独立確率変数であると仮定してその期待値を計算する：
上記の結果と比較する：
分散のサンプル推定量の期待される分散を計算する：
分散を推定量の第2中心モーメントとして計算する：
大きいサンプルサイズの極限のとき，推定量の分散は大数の法則に一致して0となる傾向がある：
サイズ30の標準正規分布に従うサンプルを使って1000回のシミュレーションを行う：
サンプルの平均と分散を期待値と比較する：
サンプルの平均とサンプルの分散の推定量の共分散を計算する：
サンプル母数の共分散を混合中心モーメントとして計算する：
期待される共分散は正規分布に従うサンプルでは消失する：
二次元データの非対角の共分散行列要素のサンプル推定量を求める：
そのバイアスと共分散を求める：
二項サンプルの推定量のバイアスと共分散を計算する：
の標準二項サンプルの推定量の分散が0.001を超えないために必要なサンプルサイズを推定する：
標準偏差のサンプル推定量はサンプルの分散の平方根として計算される：
このような推定量は偏っており，母集団の標準偏差を過小評価している：
標準偏差推定量の分析は引数のバイアス箇所で非線形関数をその切断テイラー級数で置換することで行われる：
近似された推定量の期待値を求める：
サイズ
の標準正規分布に従うサンプルについて上記の数値を計算する：
正規分布に従うサンプルの推定量の分散を求める：
有限サンプルJarque-Bera統計
を導く：
サイズ
の正規分布に従うサンプルのサンプル尖度推定量
の平均と分散を求める：
サイズ
の正規分布に従うサンプルの尖度推定量
の平均と分散を計算する：
推定量を組み立てる：
大きい
の近似を求める：
サンプルモーメント推定量は自動的に不偏である：
ベキ対称式によって不偏モーメント推定量を計算する：
推定量のサンプリング母集団期待値を計算する：
多変量モーメント推定量を計算する：
これらにもまた不偏である：
記号サンプルで推定量を計算する：
階乗モーメントは原点の周りのモーメントの線形結合として表すことができる：
ゆえに，そのサンプル推定量もまた自動的に不偏である：
ベキ対称式によって不偏階乗モーメント推定量を計算する：
推定量のサンプリング母数期待値を計算する：
第2
h統計を求める：
ベキ対象式によってh統計を書く：
これを第2中心モーメント
のサンプル推定量と比較する：
サンプルサイズ
についてこれらの推定量のサンプリング母集団期待値を求める：
ベキ対称式について第3h統計を計算する：
これを中心モーメント
のサンプル推定量を比較する：
サンプルサイズ
についてこれらの推定量のサンプリング母集団期待値を求める：
多変量h統計
を計算する：
推定量を二変量正規分布からのサンプルについて評価する：
母集団の値と比較する：
ベキ対称式によって第4
k統計を求める：
得られたk統計を標準正規分布に従うサンプルについて評価する：
推定量の統計を累積し，ヒストグラムを示す：
についての多変量k統計を計算する：
これをサンプル推定量と比較する：
平均の二乗の不偏推定量を求める：
記号サンプルでこれを評価する：
サンプル母集団推定量を求める：
polykayとしても知られるキュムラントの積の不偏推定量を計算する：
これをベキ対称式で表す：
polyacheとしても知られる多変量中心モーメントの不偏推定量を求める：
多変量サンプルで推定量の値を求める：
サンプリング母集団のモーメントと比較する：
k統計のキュムラントはk統計のある種の単項式のサンプリング母集団の推定量における多項式である．これらは原点の周りのモーメントに関して多変量キュムラントから始めてumbral微積分で構築される：
それぞれの多変量モーメントはk統計における単項式のサンプリング母集団の推定量として理解される．例えば，原点の周りのモーメント
は
の期待値の積を表す．結果の
と
の不偏推定量を求める：
k統計のキュムラント計算の手続きを定義する：
を証明する：
を証明する：
これは正規分布に従うサンプルのサンプル平均とサンプル分散が独立していることを示唆している：
k統計のキュムラントはその方がより簡潔な式になるという理由から表形式になっており，推定量のモーメントの計算に使われる．第2k統計のキュムラントを計算する：
k統計の積のキュムラントを計算する：
より高次元のk統計のキュムラントの式は急速に大きくなる：
ある集合を指定サイズの部分集合に分割する際の分割数を計算する：
5つの要素の集合を要素が2つと3つの部分集合に分割する方法は10通りある：
分割を行い直接数える：
はリストを指定された長さのブロックに分割する：
次モーメント
次中心モーメント
次階乗モーメント
次キュムラント
次ベキ対称式
引数付き対称式
は，まず 
に変換し，次に 
等に変換する．
を含む：
例題
例 
スコープ 